Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Nierówności wielomianowe i wymierne
Schemat rozwiązywania
- przenieś wszystko na jedną stronę, żeby po drugiej zostało zero
- rozłóż na czynniki
- znajdź pierwiastki i zaznacz je na osi
- ustal znaki w przedziałach
- odczytaj odpowiedź, pilnując nawiasów
Rysowanie krzywej znaków
Zaznaczamy pierwiastki na osi. Krzywą prowadzimy od prawej strony z góry, jeśli współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni. Przy każdym pierwiastku jednokrotnym krzywa przechodzi przez oś, przy dwukrotnym (ogólnie: parzystej krotności) tylko jej dotyka i wraca.
Dlatego $W(x)=(x-1)^2(x+4)$ zmienia znak wyłącznie w $x=-4$.
Przykład
$(x-1)(x-2)(x-3)<0$. Pierwiastki $1$, $2$, $3$; znaki od prawej: $+,-,+,-$. Odpowiedź: $x\in(-\infty,1)\cup(2,3)$.
Nierówności wymierne — zamiana na iloczyn
Ułamek ma taki sam znak jak iloczyn licznika i mianownika, więc:
$$\frac{L(x)}{M(x)}>0 \iff L(x)\cdot M(x)>0 \quad\text{przy } M(x)\neq0$$
To pozwala korzystać z tej samej krzywej znaków co przy wielomianach.
Czego nie wolno robić
Nie mnożymy nierówności przez mianownik z niewiadomą — nie znamy jego znaku, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot nierówności. Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
$$\frac{x+2}{x-1}\ge1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x+2-(x-1)}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad x>1$$
Nawiasy — najczęstsze źródło utraty punktu
- nierówność ostra ($<$, $>$) — nawiasy zawsze otwarte
- nierówność nieostra ($\le$, $\ge$) — pierwiastki licznika domykamy
- pierwiastki mianownika zostają wyłączone zawsze, nawet przy $\le$
Stąd $\frac{x}{x-3}\ge0$ daje $x\in(-\infty,0\rangle\cup(3,+\infty)$ — zero domknięte, trójka nie.
Nierówności bez dzielenia przez zmienną
Z $x^3\ge4x$ nie wolno skracać przez $x$ (gubimy rozwiązania i mylimy znak). Poprawnie:
$$x^3-4x\ge0 \iff x(x-2)(x+2)\ge0 \iff x\in\langle-2,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$$
Kontrola wyniku
Podstaw jedną liczbę z każdego wyznaczonego przedziału do wyjściowej nierówności. To zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje niemal każdy błąd znaku.
Na co uważać
Trzy klasyczne błędy: dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą, pominięcie warunku na dziedzinę oraz mechaniczne naprzemienne wpisywanie znaków bez sprawdzenia krotności pierwiastków.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.