Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Nierówności kwadratowe i wzory Viete
Schemat rozwiązywania nierówności kwadratowej
- przenieś wszystko na jedną stronę, tak aby po drugiej został zero
- znajdź miejsca zerowe trójmianu
- ustal kierunek ramion paraboli ze znaku $a$
- naszkicuj parabolę i odczytaj przedziały
- dobierz nawiasy: ostre przy nierówności nieostrej, okrągłe przy ostrej
Klucz — kierunek ramion
Dla $a>0$ (ramiona w górę):
- wartości ujemne — między miejscami zerowymi
- wartości dodatnie — na zewnątrz, w dwóch przedziałach
Dla $a<0$ obszary zamieniają się miejscami — to najczęstsze źródło błędów.
Przykład
Nierówność $x^2-5x+6\ge0$. Miejsca zerowe to $2$ i $3$, a $a=1>0$, więc wartości nieujemne leżą na zewnątrz:
$$x\in(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$$
Przypadki bez miejsc zerowych
Gdy $\Delta<0$, parabola nie przecina osi OX. Wtedy dla $a>0$ cała leży nad osią (np. $x^2+1>0$ jest spełnione zawsze), a dla $a<0$ — pod osią.
Wzory Viete
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$
Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania. Wymagają jednak, aby pierwiastki istniały, czyli $\Delta\ge0$ — ten warunek trzeba sprawdzać zawsze.
Typowe zastosowania Viete
- oba pierwiastki dodatnie: $\Delta>0$ oraz suma $>0$ i iloczyn $>0$
- oba ujemne: $\Delta>0$ oraz suma $<0$ i iloczyn $>0$
- różnych znaków: wystarczy iloczyn $<0$
- $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ — pozwala policzyć sumę kwadratów
Równania sprowadzalne do kwadratowych
Równanie dwukwadratowe $ax^4+bx^2+c=0$ rozwiązujemy podstawieniem $t=x^2$ przy warunku $t\ge0$. Każde nieujemne $t$ daje dwa rozwiązania w $x$: $x=\pm\sqrt{t}$.
Na co uważać
Sama dodatnia suma pierwiastków nie gwarantuje, że oba są dodatnie — potrzebny jest jeszcze dodatni iloczyn. Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną odwracamy znak. Odpowiedź $x\le3$ dla nierówności $x^2\le9$ jest błędna: brakuje ograniczenia od dołu.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.