Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Koło i okrąg — długość, pole i figury złożone
Koło a okrąg
Okrąg to sama linia — zbiór punktów oddalonych od środka dokładnie o promień. Koło to okrąg razem z wnętrzem.
Stąd okrąg ma długość, a koło ma pole.
Wzory
$$L=2\pi r=\pi d,\qquad P=\pi r^2$$
gdzie $r$ to promień, a $d=2r$ — średnica. Do obliczeń przybliżonych przyjmujemy $\pi\approx3{,}14$.
Zadania odwrotne
$$r=\frac{L}{2\pi},\qquad r=\sqrt{\frac{P}{\pi}}$$
Przykład: z $L=18\pi$ dostajemy $r=9$; z $P=49\pi$ dostajemy $r=7$.
Najczęstsza pułapka
Wstawienie średnicy zamiast promienia do wzoru na pole. Dla $d=8$ poprawnie jest $P=\pi\cdot4^2=16\pi$, a nie $64\pi$ — błąd czterokrotny.
Jak zmiana promienia wpływa na wynik
Długość okręgu zależy od promienia liniowo, a pole — od jego kwadratu. Podwojenie promienia podwaja obwód, ale zwiększa pole czterokrotnie.
Części koła
$$P_{\text{półkola}}=\frac{\pi r^2}{2},\qquad P_{\text{ćwiartki}}=\frac{\pi r^2}{4}$$
Uwaga przy obwodzie: obwód półkola to łuk plus średnica, czyli $\pi r+2r$ — sam łuk nie zamyka figury.
Pierścień kołowy
$$P=\pi R^2-\pi r^2=\pi\left(R^2-r^2\right)$$
Nie wolno liczyć $\pi(R-r)^2$ — najpierw podnosimy do kwadratu, potem odejmujemy.
Koło wpisane w kwadrat
Średnica koła równa się bokowi kwadratu. Odpad (część kwadratu poza kołem) stanowi zawsze około $21{,}5\%$ powierzchni — niezależnie od rozmiaru.
Zastosowania praktyczne
Jeden obrót koła to droga równa jego obwodowi. Koło o średnicy $70$ cm po $100$ obrotach przejedzie $100\cdot\pi\cdot70\approx21\,980$ cm, czyli około $220$ m.
Na co uważać
W figurach złożonych z prostokąta i półkoli sprawdź, które odcinki naprawdę leżą na brzegu. Boki schowane wewnątrz figury nie liczą się do obwodu.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.