Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Granice i asymptoty wykresu
Pojęcie granicy
Granica $\lim_{x\to x_0}f(x)$ opisuje, do jakiej wartości zbliżają się wartości funkcji, gdy argument zbliża się do $x_0$. Sama wartość $f(x_0)$ nie ma tu znaczenia — funkcja nie musi być nawet w tym punkcie określona.
Granice funkcji ciągłych
Dla wielomianów i innych funkcji ciągłych granicę liczymy przez zwykłe podstawienie:
$$\lim_{x\to 2}(3x+1)=7$$
Symbol nieoznaczony 0/0
Gdy podstawienie daje $\frac00$, trzeba przekształcić wyrażenie:
- rozłożyć licznik i mianownik na czynniki i skrócić
- usunąć niewymierność przez sprzężenie
Przykład: $\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$. Skracanie jest dozwolone, bo $x$ tylko dąży do $3$, nigdy nie jest mu równe.
Granice w nieskończoności — iloraz wielomianów
Porównujemy stopnie licznika i mianownika:
- stopnie równe — granica to iloraz współczynników wiodących
- licznik niższego stopnia — granica wynosi $0$
- licznik wyższego stopnia — granica niewłaściwa ($\pm\infty$)
Przykład: $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+5}{x^2-1}=3$.
Granice jednostronne
Granica obustronna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie jednostronne istnieją i są równe. Dla $f(x)=\frac1x$ mamy $\lim_{x\to0^{+}}=+\infty$, a $\lim_{x\to0^{-}}=-\infty$, więc granica w zerze nie istnieje.
Ciągłość w punkcie
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$
Wymaga trzech rzeczy naraz: istnienia $f(x_0)$, istnienia granicy i ich równości.
Asymptoty
- Pionowa $x=a$ — gdy granica jednostronna w $a$ jest nieskończona. Szukamy tam, gdzie zeruje się mianownik przy niezerowym liczniku
- Pozioma $y=b$ — gdy $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b$
Asymptota pozioma i ukośna wykluczają się wzajemnie.
Na co uważać
Zerowanie mianownika samo w sobie nie gwarantuje asymptoty pionowej — jeśli licznik też się zeruje, może dojść do skrócenia i powstanie tylko „dziura” w wykresie (nieciągłość usuwalna). Zawsze sprawdzaj licznik.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.