Polityka cookies
§ 1. Czym są pliki cookies
Pliki cookies („ciasteczka") to niewielkie dane informatyczne, głównie pliki tekstowe, zapisywane w urządzeniu końcowym Użytkownika i odczytywane przy korzystaniu z Serwisu. Zazwyczaj zawierają nazwę strony, czas przechowywania oraz unikalny identyfikator.
↑ Wróć na górę§ 2. Kto je ustawia (administrator)
Podmiotem, który zapisuje i odczytuje pliki cookies na Twoim urządzeniu, jest AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl) jako administrator Serwisu. W przypadku cookies stron trzecich — robią to również ich dostawcy (szczegóły w § 9).
↑ Wróć na górę§ 3. Cele stosowania cookies
- Dostosowanie treści i optymalizacja działania — rozpoznanie urządzenia i właściwe wyświetlenie strony oraz interfejsu tablicy interaktywnej zgodnie z preferencjami Użytkownika.
- Tworzenie statystyk — zrozumienie sposobu korzystania z Serwisu i tablicy w celu ulepszania struktury i zawartości.
- Utrzymanie sesji — po zalogowaniu, aby nie trzeba było ponownie wpisywać danych na każdej podstronie/sesji.
- Bezpieczeństwo — wykrywanie nadużyć, ochrona przed atakami i zapewnienie integralności usług czasu rzeczywistego (np. WebRTC).
- Marketing/personalizacja — za Twoją zgodą, wyświetlanie treści lepiej dopasowanych do zainteresowań.
§ 4. Rodzaje: sesyjne i stałe
Stosujemy cookies „sesyjne” (tymczasowe) — działają do czasu wylogowania, opuszczenia strony lub zamknięcia przeglądarki — oraz „stałe”, które pozostają do upływu wskazanego terminu lub do ich usunięcia przez Użytkownika.
↑ Wróć na górę§ 5. Kategorie cookies w serwisie
- Niezbędne — umożliwiają korzystanie z kluczowych usług (uwierzytelnianie, utrzymanie sesji, podstawowa konfiguracja tablicy). Bez nich Serwis może nie działać poprawnie.
- Bezpieczeństwo — pomagają wykrywać nadużycia w uwierzytelnianiu i chronić usługi czasu rzeczywistego.
- Wydajnościowe/statystyczne — zbierają informacje o sposobie korzystania z Serwisu dla celów analitycznych.
- Funkcjonalne — zapamiętują wybrane ustawienia i personalizację interfejsu (np. język, układ narzędzi, preferencje audio/wideo).
- Reklamowe/personalizacyjne — dostarczają treści reklamowych lepiej dopasowanych do zainteresowań Użytkownika (tylko za zgodą).
§ 6. Zarządzanie zgodą
Zgodą na instalowanie cookies (poza niezbędnymi) możesz zarządzać w banerze cookies wyświetlanym przy pierwszej wizycie oraz w ustawieniach przeglądarki. Zgodę możesz w każdej chwili wycofać lub zmienić — nie wpływa to na zgodność z prawem wcześniejszego wykorzystania cookies.
↑ Wróć na górę§ 7. Ustawienia przeglądarek
Większość przeglądarek domyślnie zezwala na cookies. Możesz zablokować ich zapisywanie lub ustawić powiadomienia o każdym zapisie. Instrukcje dla popularnych przeglądarek:
- Chrome: support.google.com/chrome/answer/95647
- Firefox: support.mozilla.org/pl/kb/ciasteczka
- Safari (Mac): support.apple.com – zarządzanie cookies
- Edge: support.microsoft.com – usuwanie plików cookie
- Opera: help.opera.com – cookies
- Safari (iOS/iPadOS): Ustawienia → Safari → Zaawansowane → Blokuj wszystkie pliki cookie
§ 8. Skutki ograniczeń
Ograniczenie stosowania cookies może spowodować nieprawidłowe działanie niektórych funkcji Serwisu — zwłaszcza logowania, utrzymania sesji i elementów tablicy interaktywnej (np. zapamiętanie ustawień urządzeń audio/wideo).
↑ Wróć na górę§ 9. Cookies stron trzecich
W Serwisie mogą pojawiać się cookies podmiotów trzecich (np. dostawcy analityki, usług czasu rzeczywistego, płatności, komunikacji). Podmioty te mogą uzyskiwać dostęp do swoich cookies zgodnie z własnymi politykami. W przypadku wykorzystania reklam on-line — odpowiednie pliki mogą być używane do personalizacji treści (wyłącznie za zgodą).
W przypadku skorzystania z integracji z Google (logowanie przez Google, Google Drive, Google Calendar), w procesie uwierzytelniania OAuth 2.0 mogą być ustawiane cookies przez serwisy Google zgodnie z Polityką Prywatności Google. Serwis przechowuje po swojej stronie token sesji OAuth wyłącznie jako niezbędny plik cookie sesji — bez niego utrzymanie połączenia z kontem Google byłoby niemożliwe.
↑ Wróć na górę§ 10. Zmiany i kontakt
- Polityka cookies może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (np. zmiany prawa, technologii, zakresu usług). O zmianach poinformujemy w Serwisie z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie.
- Kontakt w sprawach cookies: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów, tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Podobieństwo i twierdzenie Talesa
Twierdzenie Talesa
Proste równoległe przecinające ramiona kąta wyznaczają na nich odcinki proporcjonalne:
$$\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{|A_1B_1|}{|B_1C_1|}$$
Twierdzenie odwrotne pozwala z proporcji wnioskować o równoległości — pod warunkiem, że odcinki odkładamy od wierzchołka kąta w tym samym kierunku.
Cechy podobieństwa trójkątów
- kk — dwa kąty jednego równe dwóm kątom drugiego
- bbb — trzy pary boków proporcjonalne
- bkb — dwie pary boków proporcjonalne i kąt między nimi równy
Skala podobieństwa
Jeśli figury są podobne w skali $k$, to:
$$\frac{\text{obwody}}{\ }=k,\qquad \frac{P_1}{P_2}=k^2,\qquad \frac{V_1}{V_2}=k^3$$
Długości rosną jak $k$, pola jak $k^2$, a objętości jak $k^3$.
Punkty szczególne trójkąta
- środkowe → środek ciężkości, dzieli je w stosunku $2:1$ od wierzchołka
- symetralne boków → środek okręgu opisanego
- dwusieczne kątów → środek okręgu wpisanego
- wysokości → ortocentrum
W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej, więc $R=\frac{c}{2}$.
Na co uważać
Pole nie rośnie liniowo ze skalą. Jeśli pole wzrosło $16$ razy, skala wynosi $k=4$, nie $16$. Środek okręgu opisanego może leżeć poza trójkątem (przy kącie rozwartym), a wpisanego — zawsze wewnątrz.
Funkcja kwadratowa i równania kwadratowe
Trzy postacie funkcji kwadratowej
Ogólna: $f(x)=ax^2+bx+c$ — widać $c$, czyli punkt przecięcia z osią $OY$.
Kanoniczna: $f(x)=a(x-p)^2+q$ — widać wierzchołek $W=(p,q)$.
Iloczynowa: $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ — widać miejsca zerowe (istnieje przy $\Delta\ge0$).
Wyróżnik i pierwiastki
$$\Delta=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$
- $\Delta>0$ — dwa różne pierwiastki
- $\Delta=0$ — jeden pierwiastek podwójny $x_0=\frac{-b}{2a}$
- $\Delta<0$ — brak pierwiastków rzeczywistych
Wierzchołek paraboli
$$p=\frac{-b}{2a},\qquad q=\frac{-\Delta}{4a}$$
W praktyce bezpieczniej policzyć $p$, a potem po prostu $q=f(p)$ — mniej okazji do pomyłki ze znakiem.
Wzory Viète’a
$$x_1+x_2=\frac{-b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}$$
Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania — np. znaki: oba dodatnie gdy suma i iloczyn są dodatnie, różnych znaków gdy iloczyn jest ujemny. Przydatna tożsamość: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$.
Nierówności kwadratowe
Wyznaczamy miejsca zerowe, szkicujemy parabolę (ramiona wg znaku $a$) i odczytujemy przedziały. Dla $a>0$: nierówność $>0$ daje dwa przedziały zewnętrzne, $<0$ — jeden wewnętrzny.
Na co uważać
Równania niezupełne rozwiązuj bez delty: $x^2-9=0\Rightarrow x=\pm3$; $x^2-5x=0\Rightarrow x(x-5)=0$. Nigdy nie dziel przez $x$ — stracisz rozwiązanie $x=0$. W zadaniach z parametrem najpierw sprawdź warunek na $\Delta$.
Zbiory — definicja i działania
- $x \in A$ — $x$ należy do $A$
- $x \notin A$ — $x$ nie należy do $A$
- $\emptyset$ — zbiór pusty
- $A \subseteq B$ — $A$ jest podzbiorem $B$ (każdy element $A$ jest w $B$)
- Suma $A \cup B$: elementy należące do $A$ LUB $B$ (albo obu)
- Iloczyn (część wspólna) $A \cap B$: elementy należące do $A$ I $B$
- Różnica $A \setminus B$: elementy $A$, które nie są w $B$
- Dopełnienie $A^c$: elementy spoza $A$ (w zbiorze uniwersalnym)
- $A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$
- $A \cap B = \{3,4\}$
- $A \setminus B = \{1,2\}$
Funkcja — definicja formalna
- Dziedzina $D_f = X$ — zbiór dopuszczalnych argumentów
- Zbiór wartości $W_f \subseteq Y$ — zbiór wartości faktycznie przyjmowanych przez $f$
- Wykres $= \{(x, f(x)) : x \in D_f\}$ — zbiór punktów na płaszczyźnie
- Mianownik ≠ 0: $f(x) = \frac{1}{x-2}$ → $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$
- Podpierwiastkowy ≥ 0: $f(x) = \sqrt{x-3}$ → $x \geq 3$, $D_f = [3, +\infty)$
- Logarytm > 0: $f(x) = \log(x+1)$ → $x > -1$, $D_f = (-1, +\infty)$
- Warunek 1: $x \geq 0$ (podpierwiastkowy)
- Warunek 2: $x - 1 \neq 0$, czyli $x \neq 1$
- $D_f = [0, 1) \cup (1, +\infty)$
Wielomiany
Pojęcia podstawowe
Wielomian stopnia $n$: $W(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$, gdzie $a_n\ne0$. Liczbę $a_n$ nazywamy współczynnikiem wiodącym, a $a_0$ — wyrazem wolnym.
Twierdzenie Bézouta
$$W(x)=(x-a)Q(x)+W(a)$$
Reszta z dzielenia przez dwumian $(x-a)$ równa się wartości wielomianu w punkcie $a$. Stąd kluczowy wniosek:
$$(x-a)\mid W(x) \iff W(a)=0$$
Uwaga na znak: dla dzielnika $(x+2)$ podstawiamy $a=-2$.
Pierwiastki wymierne
Jeśli współczynniki są całkowite, każdy pierwiastek wymierny $\frac{p}{q}$ (ułamek nieskracalny) spełnia: $p$ dzieli wyraz wolny, $q$ dzieli współczynnik wiodący. Gdy $a_n=1$, pierwiastki wymierne są całkowite i dzielą wyraz wolny.
Rozkład na czynniki
Metody: wyłączanie przed nawias, grupowanie, wzory skróconego mnożenia, dzielenie przez znaleziony dwumian (schemat Hornera).
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
Nierówności wielomianowe
Rozkładamy na czynniki, zaznaczamy pierwiastki na osi i rysujemy krzywą od prawej góry (gdy współczynnik wiodący jest dodatni). Przy pierwiastku o krotności nieparzystej krzywa przechodzi przez oś, przy parzystej — odbija się.
Na co uważać
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wskazuje tylko kandydatów — każdego trzeba sprawdzić podstawieniem. Nie gwarantuje też, że pierwiastki wymierne w ogóle istnieją (wielomian $x^3-2$ nie ma żadnego).
Monotoniczność i miejsca zerowe funkcji
- Rosnąca: dla $x_1 < x_2$ zachodzi $f(x_1) < f(x_2)$ — im większy argument, tym większa wartość
- Malejąca: dla $x_1 < x_2$ zachodzi $f(x_1) > f(x_2)$
- Miejsce zerowe: argument $x_0$ taki, że $f(x_0) = 0$ — punkt przecięcia z osią $OX$
- Ekstremum lokalne: punkt, gdzie funkcja „zmienia" monotoniczność
- Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$: rosnąca gdy $a > 0$, malejąca gdy $a < 0$
- Funkcja kwadratowa $f(x) = ax^2 + bx + c$: malejąca potem rosnąca (gdy $a > 0$), z wierzchołkiem jako minimum
- W szkole średniej: z wykresu lub tablicą znaków pochodnej
- $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
- Parabola otwarta ku górze, wierzchołek $(0, -4)$
- Malejąca na $(-\infty, 0)$, rosnąca na $(0, +\infty)$
Trygonometria w trójkącie
Funkcje kąta ostrego
W trójkącie prostokątnym, dla kąta $\alpha$:
$$\sin\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przy kącie}}$$
Wartości szczególne
$\sin30^\circ=\frac12$, $\ \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\ \sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\ \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\ \cos60^\circ=\frac12$
Związki podstawowe
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$
Ponadto $\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)$ — stąd nazwa „cosinus” (co-sinus, sinus kąta dopełniającego).
Twierdzenie sinusów i cosinusów
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$$
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$
Twierdzenie cosinusów uogólnia twierdzenie Pitagorasa — dla $\gamma=90^\circ$ mamy $\cos90^\circ=0$ i wzór redukuje się do $c^2=a^2+b^2$.
Pole trójkąta
$$P=\frac12ab\sin\gamma,\qquad P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\qquad P=\frac{abc}{4R}=sr$$
gdzie $s=\frac{a+b+c}{2}$ (wzór Herona).
Na co uważać
We wzorze $\frac12ab\sin\gamma$ kąt musi leżeć między podanymi bokami. Dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny, a sinus wciąż dodatni. Przy danych bok-bok-kąt mogą istnieć dwa różne trójkąty.
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
Funkcja wykładnicza
$$f(x)=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1$$
Dziedzina: $\mathbb{R}$. Zbiór wartości: $(0,+\infty)$ — funkcja nigdy nie przyjmuje wartości $0$ ani ujemnych. Zawsze przechodzi przez punkt $(0,1)$, a oś $OX$ jest asymptotą poziomą.
Dla $a>1$ rośnie, dla $0 $$f(x)=\log_ax$$ Jest funkcją odwrotną do wykładniczej — jej wykres to odbicie wykresu $a^x$ względem prostej $y=x$. Dziedzina: $(0,+\infty)$, zbiór wartości: $\mathbb{R}$, przechodzi przez $(1,0)$, oś $OY$ jest asymptotą pionową. Podstawowa metoda: sprowadzenie obu stron do tej samej podstawy. $$a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)$$ Przykład: $2^x=32=2^5$, więc $x=5$. Równania typu $a^{2x}+pa^x+q=0$ sprowadzamy do kwadratowego, podstawiając $t=a^x>0$. Przykład: $4^x-5\cdot2^x+4=0$, podstawiamy $t=2^x$: $t^2-5t+4=0$, skąd $t=1$ lub $t=4$, czyli $x=0$ lub $x=2$. Kierunek zależy od podstawy: dla $a>1$ zostaje bez zmian, dla $0 Po podstawieniu odrzuć rozwiązania $t\le0$ — funkcja wykładnicza takich wartości nie przyjmuje. W równaniach logarytmicznych zawsze zacznij od dziedziny.Funkcja logarytmiczna
Równania wykładnicze
Metoda podstawienia
Nierówności wykładnicze
Na co uważać
Logarytm — definicja i własności
- $\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n$ (iloczyn → suma)
- $\log_a\frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n$ (iloraz → różnica)
- $\log_a m^k = k \log_a m$ (potęga → mnożnik)
- $\log_a a = 1$; $\log_a 1 = 0$
- Zamiana podstawy: $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$
- $\log_2 32 + \log_2 4 = \log_2 (32 \cdot 4) = \log_2 128$
- $2^7 = 128 \Rightarrow \log_2 128 = 7$
Ciągi liczbowe
Pojęcie ciągu
Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Wyraz o numerze $n$ oznaczamy $a_n$. Ciąg można zadać wzorem ogólnym (jawnym) albo rekurencyjnym.
Ciąg arytmetyczny
Stała różnica $r$ między kolejnymi wyrazami:
$$a_n=a_1+(n-1)r$$
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
Własność charakterystyczna: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ — każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów.
Ciąg geometryczny
Stały iloraz $q$ kolejnych wyrazów:
$$a_n=a_1q^{n-1}$$
$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\qquad(q\ne1)$$
Własność: $a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$.
Szereg geometryczny
Dla $|q|<1$ suma nieskończenie wielu wyrazów jest skończona:
$$S=\frac{a_1}{1-q}$$
Przykład: $1+\frac12+\frac14+\ldots=\frac{1}{1-\frac12}=2$.
Procent składany
$$K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$
To bezpośrednie zastosowanie ciągu geometrycznego — kapitał rośnie geometrycznie.
Na co uważać
We wzorze ogólnym ciągu arytmetycznego jest $(n-1)r$, a nie $nr$ — do dziesiątego wyrazu dodajemy różnicę dziewięć razy. Wzór na sumę ciągu geometrycznego nie działa dla $q=1$ (dzielenie przez zero) — ten przypadek rozpatruj osobno. Przy szeregu najpierw sprawdź warunek $|q|<1$.
Trygonometria — definicja jednostkowa
- I ćwiartka (0°–90°): sin $+$, cos $+$, tg $+$
- II ćwiartka (90°–180°): sin $+$, cos $-$, tg $-$
- III ćwiartka (180°–270°): sin $-$, cos $-$, tg $+$
- IV ćwiartka (270°–360°): sin $-$, cos $+$, tg $-$
- $150° = 180° - 30°$ → II ćwiartka
- $\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$ (sin $+$ w II ćwiartce)
- $\cos 150° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (cos $-$ w II ćwiartce)
Geometria analityczna
Punkty i odcinki
$$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
$$S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$
Wzór na odległość to twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.
Prosta
Postać kierunkowa $y=ax+b$ oraz ogólna $Ax+By+C=0$. Odległość punktu od prostej:
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
Wzór wymaga postaci ogólnej — prostą $y=2x+1$ trzeba najpierw przekształcić do $2x-y+1=0$.
Okrąg i koło
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Środek $S=(a,b)$, promień $r$. Znaki w nawiasach są przeciwne do współrzędnych środka. Koło to nierówność $\le r^2$. Z postaci rozwiniętej środek i promień wyznaczamy przez uzupełnianie do kwadratu.
Wektory
$$\vec{AB}=[x_2-x_1,\ y_2-y_1],\qquad |\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$
$$\vec u\circ\vec v=u_1v_1+u_2v_2=|\vec u||\vec v|\cos\alpha$$
Iloczyn skalarny daje liczbę. Kluczowy wniosek: $\vec u\perp\vec v \iff \vec u\circ\vec v=0$.
Na co uważać
Wektor $\vec{AB}$ to „koniec minus początek”. Jeśli po uzupełnieniu do kwadratu prawa strona równania okręgu wyjdzie ujemna, równanie nie opisuje żadnego okręgu.
Prawdopodobieństwo — pojęcia podstawowe
- Doświadczenie losowe — eksperyment o niepewnym wyniku (rzut kostką)
- Przestrzeń zdarzeń elementarnych $\Omega$ — zbiór wszystkich możliwych wyników
- Zdarzenie $A$ — podzbiór $\Omega$ (zestaw wybranych wyników)
- Zdarzenie pewne — $\Omega$ (zawsze zachodzi)
- Zdarzenie niemożliwe — $\emptyset$ (nigdy nie zachodzi)
- $0 \leq P(A) \leq 1$ zawsze
- $P(\Omega) = 1$; $P(\emptyset) = 0$
- $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ — zdarzenie przeciwne
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ — ogólna reguła dodawania
- Zdarzenia niezależne: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
- $|\Omega| = 36$ (6×6)
- Sumy = 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) → $|A| = 6$
- $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
Pochodna funkcji
Definicja
$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
Pochodna mierzy chwilowe tempo zmian funkcji. Geometrycznie jest to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $x_0$.
Równanie stycznej: $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.
Pochodne funkcji elementarnych
$$(c)'=0,\qquad (x^n)'=nx^{n-1},\qquad (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (e^x)'=e^x,\qquad (\ln x)'=\frac1x$$
Reguły różniczkowania
$$(f\pm g)'=f'\pm g'$$
$$(fg)'=f'g+fg'$$
$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$$
$$\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
Badanie funkcji
- $f'(x)>0$ — funkcja rosnąca
- $f'(x)<0$ — funkcja malejąca
- $f'(x_0)=0$ i zmiana znaku z $+$ na $-$ — maksimum lokalne
- $f'(x_0)=0$ i zmiana znaku z $-$ na $+$ — minimum lokalne
Interpretacja fizyczna
Pochodna drogi po czasie to prędkość, pochodna prędkości — przyspieszenie.
Na co uważać
Sam warunek $f'(x_0)=0$ nie wystarcza — dla $f(x)=x^3$ mamy $f'(0)=0$, ale ekstremum nie ma (brak zmiany znaku). Pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych. Przy funkcji złożonej łatwo pominąć „pochodną wnętrza”. Szukając wartości najmniejszej i największej na przedziale domkniętym, sprawdź także końce przedziału.
Kombinatoryka
Reguły podstawowe
Reguła mnożenia: jeśli wybór składa się z $k$ niezależnych kroków, liczby możliwości mnożymy. Reguła dodawania: jeśli wybór to jeden z rozłącznych przypadków, liczby możliwości dodajemy.
Cztery podstawowe schematy
$$P_n=n! \qquad\text{— permutacje (ustawienie wszystkich } n \text{ elementów)}$$
$$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!} \qquad\text{— wariacje bez powtórzeń}$$
$$\overline{V}_n^k=n^k \qquad\text{— wariacje z powtórzeniami}$$
$$C_n^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \qquad\text{— kombinacje}$$
Jak wybrać schemat
Zadaj dwa pytania:
- Czy kolejność ma znaczenie? Tak → wariacje/permutacje. Nie → kombinacje.
- Czy elementy mogą się powtarzać? Tak → wariacje z powtórzeniami.
Przykład: „delegacja 3-osobowa z 5 osób” — kolejność nieistotna, więc $\binom53=10$. „Przewodniczący, zastępca, sekretarz z 5 osób” — kolejność istotna, więc $5\cdot4\cdot3=60$.
Symbol Newtona
$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k},\qquad \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$$
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$
Współczynniki tworzą kolejne wiersze trójkąta Pascala. Suma wykładników w każdym składniku zawsze wynosi $n$ — to szybki test poprawności.
Na co uważać
Przyjmujemy $0!=1$. Mylenie kombinacji z wariacjami to najczęstszy błąd — zawsze zacznij od pytania o kolejność.
Bryły obrotowe
Walec
$$V=\pi r^2H,\qquad P_b=2\pi rH,\qquad P_c=2\pi r(r+H)$$
Powierzchnia boczna po rozwinięciu jest prostokątem o wymiarach $2\pi r$ (obwód podstawy) na $H$. Przekrój osiowy to prostokąt $2r\times H$.
Stożek
$$V=\frac13\pi r^2H,\qquad P_b=\pi rl,\qquad P_c=\pi r(r+l)$$
gdzie $l$ to tworząca, powiązana z pozostałymi wymiarami przez twierdzenie Pitagorasa:
$$l=\sqrt{r^2+H^2}$$
Powierzchnia boczna po rozwinięciu jest wycinkiem koła o promieniu $l$ i kącie $\alpha=\frac{r}{l}\cdot360^\circ$. Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny.
Kula
$$V=\frac43\pi r^3,\qquad P=4\pi r^2$$
Każdy przekrój kuli płaszczyzną jest kołem. Przekrój przez środek (koło wielkie) ma promień $r$, a w odległości $d$ od środka — promień $\sqrt{r^2-d^2}$.
Skalowanie
Podwojenie promienia zwiększa pole $4$ razy, a objętość $8$ razy — bo pole zależy od $r^2$, a objętość od $r^3$.
Na co uważać
W stożku do objętości wchodzi wysokość $H$, a do pola bocznego tworząca $l$ — mylenie ich to najczęstszy błąd w tym temacie. W zadaniach o przekroju osiowym będącym kwadratem (walec) zachodzi $H=2r$.
Zbiory, przedziały i wartość bezwzględna
Działania na zbiorach
$A\cup B$ — suma (elementy należące do któregokolwiek), $A\cap B$ — część wspólna (do obu), $A\setminus B$ — różnica (do $A$, ale nie do $B$).
Przedziały
$$\langle a,b\rangle=\{x: a\le x\le b\},\qquad (a,b)=\{x: a Nawias ostry (domknięty) oznacza, że koniec należy do zbioru; okrągły — że nie należy. Przy $\pm\infty$ zawsze stosujemy nawias okrągły. $$|x|=\begin{cases}x & \text{dla } x\ge0\-x & \text{dla } x<0\end{cases}$$ Interpretacja geometryczna: $|x-c|$ to odległość punktu $x$ od punktu $c$ na osi liczbowej. $$|x|=a \iff x=a \lor x=-a\qquad(a>0)$$Wartość bezwzględna
Równania i nierówności z modułem
Pojęcie i własności funkcji
Definicja
Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi dziedziny przypisuje dokładnie jedną wartość. Zapisujemy $f:X\to Y$, $y=f(x)$.
Podstawowe pojęcia
- Dziedzina — zbiór dopuszczalnych argumentów (np. mianownik $\ne0$, wyrażenie pod pierwiastkiem $\ge0$)
- Zbiór wartości — wszystkie przyjmowane wartości
- Miejsce zerowe — argument, dla którego $f(x)=0$ (przecięcie z osią $OX$)
Monotoniczność
Funkcja jest rosnąca, gdy dla $x_1
Przekształcenia wykresu
$$y=f(x)+q\ :\ \text{przesunięcie o } q \text{ wzdłuż } OY$$
$$y=f(x-p)\ :\ \text{przesunięcie o } p \text{ wzdłuż } OX$$
$$y=-f(x)\ :\ \text{symetria względem } OX$$
$$y=f(-x)\ :\ \text{symetria względem } OY$$
Przesunięcie o wektor $[p,q]$ daje łącznie $y=f(x-p)+q$.
Proporcjonalność odwrotna
$$y=\frac{a}{x},\qquad x\cdot y=a$$
Wykresem jest hiperbola; osie układu są jej asymptotami.
Na co uważać
W zapisie $f(x-p)$ znak jest mylący: $f(x-3)$ przesuwa wykres w prawo o $3$. Przy osi $OY$ jest intuicyjnie: $f(x)+2$ to przesunięcie w górę.
Funkcje wymierne
Hiperbola
$$f(x)=\frac{a}{x},\qquad a\ne0,\ x\ne0$$
Dla $a>0$ gałęzie leżą w I i III ćwiartce, dla $a<0$ — w II i IV. Osie układu są asymptotami.
Funkcja homograficzna
$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\qquad c\ne0,\ ad-bc\ne0$$
$$\text{asymptota pionowa: } x=-\frac{d}{c},\qquad \text{pozioma: } y=\frac{a}{c}$$
Warunek $ad-bc\ne0$ gwarantuje, że funkcja nie redukuje się do stałej.
Dziedzina
Wyznaczamy ją zawsze na początku: mianownik musi być różny od zera. Dla $f(x)=\frac{x+2}{x^2-9}$ mamy $x\ne\pm3$.
Równania wymierne
$$\frac{P(x)}{Q(x)}=0 \iff P(x)=0 \ \land\ Q(x)\ne0$$
Ułamek jest zerem, gdy licznik się zeruje, a mianownik nie.
Nierówności wymierne
$$\frac{P(x)}{Q(x)}>0 \iff P(x)\cdot Q(x)>0$$
Iloraz i iloczyn mają ten sam znak, więc nierówność wymierną sprowadzamy do iloczynowej i rozwiązujemy metodą siatki znaków.
Na co uważać
Nigdy nie mnóż nierówności przez mianownik — nie znasz jego znaku, więc nie wiesz, czy odwrócić kierunek. Zamiast tego przenieś wszystko na jedną stronę i sprowadź do wspólnego mianownika. Na końcu odrzuć rozwiązania spoza dziedziny.
Okrąg — kąty, styczne i okręgi w wielokątach
Kąt środkowy i wpisany
$$\alpha_{\text{środkowy}}=2\beta_{\text{wpisany}}$$
gdy oba są oparte na tym samym łuku. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są sobie równe.
Wniosek: kąt wpisany oparty na średnicy ma $90^\circ$ (twierdzenie Talesa o okręgu).
Styczna
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. Odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu zewnętrznego są równe.
Okrąg opisany i wpisany w trójkąt
Środek okręgu opisanego to punkt przecięcia symetralnych boków; środek okręgu wpisanego — punkt przecięcia dwusiecznych kątów.
W trójkącie prostokątnym $R=\frac{c}{2}$, bo przeciwprostokątna jest średnicą.
Czworokąty
$$\text{okrąg opisany} \iff \alpha+\gamma=\beta+\delta=180^\circ$$
$$\text{okrąg wpisany} \iff a+c=b+d \quad\text{(twierdzenie Pitota)}$$
Twierdzenia sinusów i cosinusów
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$$
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$
Na co uważać
Warunki na okrąg opisany i wpisany w czworokąt są niezależne. Prostokąt zawsze ma okrąg opisany, ale wpisany tylko wtedy, gdy jest kwadratem.
Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
Miara łukowa
$$180^\circ=\pi\ \text{rad},\qquad \alpha_{\text{rad}}=\alpha_{\text{st}}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}$$
Najczęstsze: $30^\circ=\frac{\pi}{6}$, $45^\circ=\frac{\pi}{4}$, $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $90^\circ=\frac{\pi}{2}$.
$$l=r\alpha,\qquad P_{\text{wycinka}}=\frac{1}{2}r^2\alpha \qquad(\alpha \text{ w radianach})$$
Znaki w ćwiartkach
W I ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w II — tylko sinus, w III — tangens i cotangens, w IV — cosinus.
Wzory redukcyjne
$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$$
$$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\qquad \sin(-\alpha)=-\sin\alpha$$
Przy kątach $90^\circ$ i $270^\circ$ funkcja zmienia się na kofunkcję (sin↔cos), przy $180^\circ$ i $360^\circ$ — pozostaje ta sama.
Okresowość
Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens i cotangens — okres $\pi$.
Wzory na sumę kątów
$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$
$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$
Równania trygonometryczne
$$\sin x=a \Rightarrow x=\alpha+2k\pi \ \lor\ x=\pi-\alpha+2k\pi$$
$$\cos x=a \Rightarrow x=\pm\alpha+2k\pi,\qquad \operatorname{tg} x=a \Rightarrow x=\alpha+k\pi$$
Na co uważać
We wzorach $l=r\alpha$ kąt musi być w radianach. Równanie $\sin x=a$ ma w każdym okresie dwa rozwiązania — pominięcie serii $\pi-\alpha$ to klasyczny błąd. W cosinusie znaki we wzorze na sumę są przeciwne niż w sinusie.
Statystyka opisowa
Miary położenia
Średnia arytmetyczna:
$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$$
Mediana — wartość środkowa w uporządkowanym zestawie. Przy parzystej liczbie danych to średnia dwóch wyrazów środkowych.
Dominanta (moda) — wartość występująca najczęściej.
Średnia ważona
$$\bar{x}_w=\frac{\sum w_ix_i}{\sum w_i}$$
Stosujemy, gdy dane mają różną istotność (np. oceny o różnych wagach).
Miary rozrzutu
Wariancja i odchylenie standardowe:
$$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,\qquad \sigma=\sqrt{\sigma^2}$$
Odchylenie standardowe mówi, jak bardzo dane są rozproszone wokół średniej. Ma tę samą jednostkę co dane; wariancja — jednostkę kwadratową.
Rozstęp to różnica między największą a najmniejszą wartością.
Przykład
Dane $2,4,4,6$: $\bar{x}=4$; odchylenia $-2,0,0,2$; $\sigma=\sqrt{\frac{4+0+0+4}{4}}=\sqrt{2}\approx1{,}41$.
Na co uważać
Przed wyznaczeniem mediany dane trzeba uporządkować. Suma samych odchyleń od średniej zawsze wynosi zero — dlatego podnosimy je do kwadratu. Mediana bywa lepszą miarą niż średnia, gdy w danych są wartości skrajne.
Rachunek prawdopodobieństwa — poziom maturalny
Definicja klasyczna
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\qquad 0\le P(A)\le1$$
Wymaga, by wszystkie zdarzenia elementarne były jednakowo prawdopodobne.
Własności
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
$$P(A\,)=1-P(A)\quad\text{(zdarzenie przeciwne)}$$
Dla zdarzeń rozłącznych $P(A\cap B)=0$.
Prawdopodobieństwo warunkowe
$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$
Niezależność
$$A,B\ \text{niezależne} \iff P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$
Niezależność i rozłączność to różne pojęcia — zdarzenia rozłączne o dodatnim prawdopodobieństwie są zawsze zależne.
Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa
$$P(B)=\sum_i P(B|A_i)P(A_i),\qquad P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$
Schemat Bernoulliego
$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$
Warunki: $n$ prób niezależnych, stałe $p$, wynik dwuwartościowy (sukces/porażka).
Na co uważać
Zwrot „co najmniej jeden” niemal zawsze wygodniej policzyć przez zdarzenie przeciwne: $1-P(\text{żaden})$. Pamiętaj, że $P(A|B)\ne P(B|A)$. Wzór Bernoulliego daje prawdopodobieństwo dokładnie $k$ sukcesów — „co najmniej $k$” wymaga sumowania.
Układy równań liniowych
Czym jest układ równań
To dwa (lub więcej) równania rozpatrywane jednocześnie. Rozwiązaniem jest para $(x,y)$ spełniająca oba równania naraz.
Metoda podstawiania
Z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą i wstawiamy do drugiego:
$$\begin{cases}y=2x-1\3x+y=9\end{cases} \Rightarrow 3x+(2x-1)=9 \Rightarrow x=2,\ y=3$$
Wygodna, gdy któraś niewiadoma ma współczynnik $1$.
Metoda przeciwnych współczynników
Mnożymy równania tak, by współczynniki przy jednej niewiadomej były przeciwne, a następnie dodajemy stronami:
$$\begin{cases}2x+y=7\x-y=2\end{cases} \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3,\ y=1$$
Liczba rozwiązań — interpretacja geometryczna
$$\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\Rightarrow\text{oznaczony — proste przecinają się}$$
$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\Rightarrow\text{nieoznaczony — proste się pokrywają}$$
$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\Rightarrow\text{sprzeczny — proste równoległe rozłączne}$$
Zadania tekstowe
Schemat: oznacz niewiadome, zapisz dwa warunki jako równania, rozwiąż układ, sprawdź wynik w treści zadania. Klasyczny przykład: suma dwóch liczb wynosi $20$, różnica $4$ — dodanie równań daje $2x=24$.
Na co uważać
Przed porównywaniem proporcji uporządkuj oba równania do postaci $ax+by=c$. Porównywanie współczynników z równań zapisanych w różnych postaciach prowadzi do błędnych wniosków o liczbie rozwiązań.
Strona 6 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.