Dane: $a=3$, $b=4$. Szukane: $c$.

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

$$c^2=a^2+b^2=3^2+4^2=9+16=25$$

Stąd $c=\sqrt{25}=5$ cm.

Odpowiedź: C. To najbardziej znana trójka pitagorejska $(3,4,5)$ — warto ją zapamiętać.

$$c^2=5^2+12^2=25+144=169$$

$c=\sqrt{169}=13$.

Odpowiedź: B. Kolejna trójka pitagorejska: $(5,12,13)$.

Uwaga: odpowiedź A ($17$) to suma $5+12$ — częsty błąd polegający na dodaniu boków zamiast ich kwadratów.

Szukamy przyprostokątnej, więc przekształcamy wzór, odejmując:

$$b^2=c^2-a^2=10^2-6^2=100-36=64$$

$b=\sqrt{64}=8$.

Odpowiedź: A.

Pułapka: gdyby dodać ($100+36$), wyszłoby $\sqrt{136}$ — odpowiedź C. Zawsze najpierw ustal, który bok jest przeciwprostokątną (najdłuższy, naprzeciw kąta prostego).

Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych równych bokowi kwadratu.

$$d^2=4^2+4^2=16+16=32$$

$$d=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}\ \text{cm}\approx 5{,}66\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $4\sqrt{2}$ cm.

Wzór ogólny: przekątna kwadratu o boku $a$ wynosi $a\sqrt{2}$.

Wysokość trójkąta równobocznego dzieli podstawę na dwie równe części po $5$ cm i tworzy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $10$ cm.

$$h^2=10^2-5^2=100-25=75$$

$$h=\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}\ \text{cm}\approx 8{,}66\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $5\sqrt{3}$ cm.

Wzór ogólny: $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, tutaj $\frac{10\sqrt3}{2}=5\sqrt3$. ✔

Przekątna prostokąta jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $9$ i $12$.

$$d^2=9^2+12^2=81+144=225$$

$d=\sqrt{225}=15$ cm.

Odpowiedź: D. To trójka $(9,12,15)$ — czyli $(3,4,5)$ pomnożona przez $3$.

Drabina, ściana i podłoże tworzą trójkąt prostokątny. Drabina to przeciwprostokątna ($13$ m), odległość od ściany to jedna przyprostokątna ($5$ m).

$$h^2=13^2-5^2=169-25=144$$

$h=\sqrt{144}=12$ m.

Odpowiedź: drabina sięga na wysokość $12$ m.

Korzystamy z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa. Sprawdzamy najdłuższy bok jako kandydata na przeciwprostokątną:

$$7^2+24^2=49+576=625$$

$$25^2=625$$

Obie strony są równe, więc trójkąt jest prostokątny.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — przekątna podstawy. Podstawa to kwadrat o boku $a$:

$$d_p^2=a^2+a^2=2a^2 \quad\Rightarrow\quad d_p=a\sqrt{2}$$

Krok 2 — przekątna sześcianu. Tworzy trójkąt prostokątny z przekątną podstawy i krawędzią pionową:

$$D^2=d_p^2+a^2=2a^2+a^2=3a^2$$

$$D=a\sqrt{3}$$

Odpowiedź: $D=a\sqrt{3}$.

Uwaga: twierdzenie Pitagorasa stosujemy tu dwukrotnie — to typowy schemat w zadaniach przestrzennych.

Różnice współrzędnych to przyprostokątne trójkąta prostokątnego:

$$\Delta x=6-2=4,\qquad \Delta y=4-1=3$$

$$|AB|^2=4^2+3^2=16+9=25 \quad\Rightarrow\quad |AB|=5$$

Odpowiedź: B. To twierdzenie Pitagorasa zapisane w układzie współrzędnych.

Dłuższe ramię jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne to wysokość trapezu i różnica podstaw.

Krok 1 — różnica podstaw: $10-4=6$ cm.

Krok 2 — twierdzenie Pitagorasa:

$$r^2=8^2+6^2=64+36=100 \quad\Rightarrow\quad r=10\ \text{cm}$$

Odpowiedź: dłuższe ramię ma $10$ cm.

Uwaga: krótsze ramię trapezu prostokątnego jest równe wysokości, czyli $8$ cm.

Dla prostopadłościanu o krawędziach $a,b,c$ przekątna spełnia $D^2=a^2+b^2+c^2$.

$$D^2=3^2+4^2+12^2=9+16+144=169$$

$D=\sqrt{169}=13$.

Odpowiedź: C.

Skąd ten wzór: najpierw przekątna podstawy ($3^2+4^2=25$), potem przekątna bryły ($25+144=169$) — dwukrotne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.

Korzystamy ze wzoru $d=a\sqrt{2}$:

$$6\sqrt{2}=a\sqrt{2} \quad\Rightarrow\quad a=6$$

Odpowiedź: D.

Sprawdzenie: kwadrat o boku $6$ ma przekątną $6\sqrt2$. ✔

Krok 1 — wysokość. Wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na połowy (po $5$ cm) i tworzy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $13$ cm:

$$h^2=13^2-5^2=169-25=144 \quad\Rightarrow\quad h=12\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole.

$$P=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 12=60\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: wysokość $12$ cm, pole $60$ cm².

Krok 1 — wysokość (twierdzenie Pitagorasa):

$$h^2=6^2-3^2=36-9=27 \quad\Rightarrow\quad h=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}\ \text{cm}^2\approx 15{,}59\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $9\sqrt{3}$ cm².

Wzór ogólny: $P=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3$. ✔

Sprawdzamy każdy zestaw twierdzeniem odwrotnym:

A: $8^2+15^2=64+225=289=17^2$ ✔

B: $6^2+8^2=36+64=100$, ale $11^2=121$. $100\ne 121$ ✘

C: $9^2+40^2=81+1600=1681=41^2$ ✔

D: $20^2+21^2=400+441=841=29^2$ ✔

Odpowiedź: B.

$$d^2=5^2+12^2=25+144=169 \quad\Rightarrow\quad d=13$$

Odpowiedź: A.

Maszt, ziemia i lina tworzą trójkąt prostokątny, w którym lina jest przeciwprostokątną.

$$l^2=9^2+12^2=81+144=225 \quad\Rightarrow\quad l=15\ \text{m}$$

Odpowiedź: zużyto $15$ m liny.

Uwaga: to znów trójka $(3,4,5)$ pomnożona przez $3$, czyli $(9,12,15)$.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c^2=6^2+8^2=100 \quad\Rightarrow\quad c=10\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole liczone na dwa sposoby. Raz z przyprostokątnych, raz z przeciwprostokątnej i wysokości na nią:

$$P=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24\ \text{cm}^2$$

$$P=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot h$$

$$5h=24 \quad\Rightarrow\quad h=4{,}8\ \text{cm}$$

Odpowiedź: wysokość ma $4{,}8$ cm.

Metoda: porównanie dwóch wyrażeń na to samo pole to bardzo częsty trik w geometrii.

Przekątne rombu przecinają się w połowie pod kątem prostym, więc dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych równych połowom przekątnych.

Krok 1 — połowy przekątnych: $\frac{12}{2}=6$ oraz $\frac{16}{2}=8$.

Krok 2 — bok rombu:

$$a^2=6^2+8^2=36+64=100 \quad\Rightarrow\quad a=10\ \text{cm}$$

Krok 3 — obwód: $Ob=4\cdot 10=40$ cm.

Odpowiedź: bok $10$ cm, obwód $40$ cm.