Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości:

$$V=\frac13 P_p\cdot H$$

Warto zapamiętać: ostrosłup ma dokładnie trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.

Odpowiedź: C. $V=\frac13 P_p\cdot H$.

$$V=\frac13 P_p\cdot H=\frac13\cdot30\cdot9=90\ \text{cm}^3$$

Wskazówka rachunkowa: najpierw dzielimy przez $3$ tę liczbę, która się dzieli — tutaj $30:3=10$, potem $10\cdot9=90$.

Odpowiedź: $90$ cm³.

Krok 1 — pole podstawy (kwadrat):

$$P_p=6^2=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac13\cdot36\cdot10=120\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $120$ cm³.

„Prawidłowy czworokątny” oznacza w podstawie wielokąt foremny o czterech bokach, czyli kwadrat, a wierzchołek nad jego środkiem.

Odpowiedź: B. kwadrat.

$$P_c=P_p+P_b$$

Elementy: $P_p$ to pole podstawy, $P_b$ — suma pól wszystkich ścian bocznych (trójkątów).

Uwaga: ostrosłup ma tylko jedną podstawę, w przeciwieństwie do graniastosłupa, który ma dwie.

Odpowiedź: $P_c=P_p+P_b$.

Ostrosłup ma jedną podstawę oraz tyle ścian bocznych, ile boków ma podstawa:

$$1+6=7$$

Ogólnie: ostrosłup o podstawie $n$-kąta ma $n+1$ ścian, $n+1$ wierzchołków i $2n$ krawędzi.

Odpowiedź: D. $7$.

Krok 1 — jedna ściana boczna. To trójkąt o podstawie $8$ i wysokości $5$:

$$P_{\triangle}=\frac{8\cdot5}{2}=20$$

Krok 2 — cztery jednakowe ściany:

$$P_b=4\cdot20=80$$

Uwaga na pojęcie apotemy: to wysokość ściany bocznej (trójkąta), nie wysokość całego ostrosłupa. Łatwo je pomylić.

Odpowiedź: $P_b=80$.

Krok 1 — przekształcamy wzór na objętość:

$$V=\frac13 P_p\cdot H \quad\Rightarrow\quad P_p=\frac{3V}{H}$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$P_p=\frac{3\cdot60}{5}=\frac{180}{5}=36\ \text{cm}^2$$

Uwaga: mnożymy przez $3$, bo we wzorze na objętość dzieliliśmy przez $3$ — przekształcenie musi to odwrócić.

Odpowiedź: $P_p=36$ cm².

Czworościan foremny ma cztery jednakowe ściany będące trójkątami równobocznymi. To najprostszy z brył platońskich.

Ciekawostka: w czworościanie foremnym każda z czterech ścian może pełnić rolę podstawy — wszystkie są równoważne.

Odpowiedź: A. trójkątami równobocznymi.

Podstawiamy do wzoru na objętość ostrosłupa:

$$V=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot8=\frac{72\sqrt3}{3}=24\sqrt3\approx41{,}6$$

Odpowiedź: $V=24\sqrt3$.

Ostrosłup o podstawie $n$-kąta ma $2n$ krawędzi: $n$ w podstawie i $n$ bocznych.

$$2\cdot4=8$$

Odpowiedź: C. $8$.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=6^2=36$$

Krok 2 — pole boczne. Cztery trójkąty o podstawie $6$ i wysokości $4$:

$$P_b=4\cdot\frac{6\cdot4}{2}=4\cdot12=48$$

Krok 3 — pole całkowite:

$$P_c=P_p+P_b=36+48=84$$

Odpowiedź: $P_c=84$.

Ostrosłup ma trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości:

$$V_{ostr}=\frac13 V_{gran}=\frac13\cdot150=50\ \text{cm}^3$$

Interpretacja. Trzy jednakowe ostrosłupy wypełniają dokładnie jeden graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości — stąd współczynnik $\frac13$.

Odpowiedź: $50$ cm³.

Wysokość ostrosłupa jest prostopadła do płaszczyzny podstawy i pada na jej środek (w ostrosłupie prawidłowym).

Nie mylić z apotemą — wysokością ściany bocznej, która łączy wierzchołek ze środkiem krawędzi podstawy.

Odpowiedź: B. środkiem podstawy, prostopadły.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=6^2=36$$

Krok 2 — z wzoru na objętość wyznaczamy $H$:

$$V=\frac13 P_p\cdot H \quad\Rightarrow\quad H=\frac{3V}{P_p}$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$H=\frac{3\cdot48}{36}=\frac{144}{36}=4$$

Odpowiedź: $H=4$.

Objętość jest wielkością trójwymiarową, więc zależy od trzeciej potęgi współczynnika skali:

$$2^3=8$$

Zależność wymiarów: długości rosną $2$ razy, pola $4$ razy, objętości $8$ razy.

Odpowiedź: A. ośmiokrotnie.

Krok 1 — trójkąt do apotemy. Apotema $h_b$, wysokość ostrosłupa $H=4$ i połowa krawędzi podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Połowa krawędzi to $3$.

Krok 2 — twierdzenie Pitagorasa:

$$h_b=\sqrt{H^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Krok 3 — pole boczne:

$$P_b=4\cdot\frac{6\cdot5}{2}=4\cdot15=60$$

Klucz do zadania. Apotema łączy się z wysokością ostrosłupa przez odległość od środka podstawy do środka jej krawędzi — a ta odległość to połowa boku kwadratu.

Odpowiedź: apotema $5$, $P_b=60$.

Krok 1 — przekątna podstawy. Kwadrat o boku $10$ ma przekątną:

$$d=10\sqrt2$$

Krok 2 — połowa przekątnej to odległość środka podstawy od wierzchołka:

$$\frac{d}{2}=5\sqrt2$$

Krok 3 — krawędź boczna z twierdzenia Pitagorasa. Tworzy trójkąt prostokątny z wysokością i połową przekątnej:

$$k=\sqrt{H^2+\left(5\sqrt2\right)^2}=\sqrt{144+50}=\sqrt{194}\approx13{,}9$$

Uwaga na wybór odcinka. Do krawędzi bocznej używamy połowy przekątnej (do wierzchołka podstawy), a nie połowy boku (tamta prowadzi do apotemy).

Odpowiedź: $k=\sqrt{194}$.

Krok 1 — pole podstawy. Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $6$:

$$P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3$$

Krok 2 — wysokość czworościanu. Korzystamy ze wzoru $H=\frac{a\sqrt6}{3}$:

$$H=\frac{6\sqrt6}{3}=2\sqrt6$$

Krok 3 — objętość:

$$V=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot2\sqrt6=\frac13\cdot18\sqrt{18}=6\cdot3\sqrt2=18\sqrt2$$

Rachunek pierwiastków: $\sqrt3\cdot\sqrt6=\sqrt{18}=3\sqrt2$, stąd uproszczenie.

Sprawdzenie wzorem gotowym: objętość czworościanu foremnego to $\frac{a^3\sqrt2}{12}=\frac{216\sqrt2}{12}=18\sqrt2$ ✔

Odpowiedź: $V=18\sqrt2$.