LekcjeRazem

Krok 1 — punkt wyjścia. Wzór na objętość ostrosłupa zależy wyłącznie od pola podstawy i wysokości:

$$V=\frac13 P\cdot H$$

Krok 2 — obserwacja. We wzorze nie występuje kształt podstawy — tylko jej pole $P$. Zatem dwa ostrosłupy o podstawach różnego kształtu, ale tym samym polu i tej samej wysokości, mają równe objętości. $\qquad ∎$

Krok 3 — przykład. Weźmy $H=6$ i pole podstawy $P=12$:

• podstawa kwadratowa o boku $\sqrt{12}=2\sqrt3$ — pole $12$,
• podstawa trójkątna o polu $12$ (np. podstawa $6$ i wysokość $4$).

W obu przypadkach:

$$V=\frac13\cdot12\cdot6=24$$

Kontekst. To szczególny przypadek zasady Cavalieriego: bryły o jednakowych polach przekrojów na każdej wysokości mają równe objętości.

Wniosek: objętość ostrosłupa zależy tylko od pola podstawy i wysokości, a nie od kształtu podstawy — oba przykłady dały $V=24$.