Różnica to wyraz następny minus poprzedni:

$$r=11-7=4$$

Sprawdzenie: $15-11=4$ oraz $19-15=4$ ✔ Różnica musi być ta sama dla każdej pary sąsiednich wyrazów.

Odpowiedź: C. $r=4$.

Wzór na wyraz ogólny:

$$a_n=a_1+(n-1)r$$

$$a_{20}=3+19\cdot5=3+95=98$$

Uwaga: mnożymy przez $n-1$, bo od pierwszego do dwudziestego wyrazu wykonujemy $19$ kroków.

Odpowiedź: $a_{20}=98$.

Krok 1 — dane: $a_1=2$, $r=3$.

Krok 2 — dziesiąty wyraz:

$$a_{10}=2+9\cdot3=29$$

Krok 3 — suma:

$$S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot10=\frac{2+29}{2}\cdot10=155$$

Odpowiedź: $S_{10}=155$.

Własność środkowego wyrazu:

$$x=\frac{5+17}{2}=\frac{22}{2}=11$$

Sprawdzenie: $11-5=6$ oraz $17-11=6$ ✔

Uwaga: $\sqrt{85}\approx9{,}22$ to średnia geometryczna — pasowałaby do ciągu geometrycznego, nie arytmetycznego.

Odpowiedź: B. $x=11$.

To ciąg arytmetyczny o $a_1=1$, $a_{100}=100$:

$$S_{100}=\frac{1+100}{2}\cdot100=50{,}5\cdot100=5050$$

Historia. Ten sam trik — parowanie skrajnych wyrazów — przypisuje się młodemu Gaussowi.

Odpowiedź: $5050$.

Krok 1 — warunek:

$$20+(n-1)(-3)<0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$20-3n+3<0 \quad\Rightarrow\quad 23<3n \quad\Rightarrow\quad n>7\tfrac23$$

Krok 3 — najmniejsza liczba naturalna: $n=8$.

Sprawdzenie: $a_7=20-18=2>0$, ale $a_8=20-21=-1<0$ ✔

Odpowiedź: A. ósmy.

Krok 1 — od trzeciego do siódmego wyrazu są cztery kroki:

$$a_7=a_3+4r \quad\Rightarrow\quad 26=10+4r$$

Krok 2 — różnica:

$$4r=16 \quad\Rightarrow\quad r=4$$

Krok 3 — pierwszy wyraz:

$$a_1=a_3-2r=10-8=2$$

Sprawdzenie: ciąg to $2$, $6$, $10$, $14$, $18$, $22$, $26$ ✔

Odpowiedź: $a_1=2$, $r=4$.

Krok 1 — pierwsza i ostatnia taka liczba:

$$14,\ 21,\ \dots,\ 98$$

Krok 2 — ile ich jest:

$$98=14+(n-1)\cdot7 \quad\Rightarrow\quad 84=7(n-1) \quad\Rightarrow\quad n=13$$

Krok 3 — suma:

$$S_{13}=\frac{14+98}{2}\cdot13=56\cdot13=728$$

Odpowiedź: $728$.

Krok 1 — dziesiąty wyraz:

$$a_{10}=1+9\cdot2=19$$

Krok 2 — suma:

$$S_{10}=\frac{1+19}{2}\cdot10=100$$

Ładna własność: to suma kolejnych liczb nieparzystych $1+3+5+\dots+19$, a taka suma zawsze równa się $n^2$ — tutaj $10^2=100$.

Odpowiedź: D. $100$.

Krok 1 — dane: $a_1=3$, $r=4$.

Krok 2 — wzór na sumę:

$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n=\frac{6+4(n-1)}{2}\cdot n$$

Krok 3 — równanie:

$$\frac{4n+2}{2}\cdot n=210 \quad\Rightarrow\quad (2n+1)n=210$$

$$2n^2+n-210=0$$

Krok 4 — rozwiązanie:

$$\Delta=1+1680=1681,\qquad \sqrt{\Delta}=41$$

$$n=\frac{-1+41}{4}=10$$

Drugi pierwiastek jest ujemny, więc go odrzucamy.

Sprawdzenie: $a_{10}=39$, a $S_{10}=\frac{3+39}{2}\cdot10=210$ ✔

Odpowiedź: $10$ wyrazów.

Każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie $r$:

$$a_{n+1}-a_n=r$$

Ciąg maleje, gdy ta różnica jest ujemna, czyli gdy $r<0$.

Pierwszy wyraz nie ma znaczenia — ciąg $-5$, $-2$, $1$, $4$ zaczyna się od liczby ujemnej, a mimo to rośnie.

Odpowiedź: B. $r<0$.

Krok 1 — zapisujemy oba wyrazy przez $a_3$:

$$a_1=a_3-2r,\qquad a_5=a_3+2r$$

Krok 2 — dodajemy. Składniki z $r$ się znoszą:

$$a_1+a_5=2a_3=16$$

Krok 3 — wynik:

$$a_3=8$$

Warto zapamiętać. W ciągu arytmetycznym wyrazy równo oddalone od danego wyrazu sumują się do jego podwojonej wartości — to bardzo częsty motyw w zadaniach.

Odpowiedź: $a_3=8$.

Krok 1 — dane: $a_1=18$, $r=2$, $n=25$.

Krok 2 — ostatni rząd:

$$a_{25}=18+24\cdot2=66$$

Krok 3 — suma:

$$S_{25}=\frac{18+66}{2}\cdot25=42\cdot25=1050$$

Odpowiedź: $1050$ miejsc.

Sumę liczymy jako liczbę wyrazów razy ich średnia:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

Skąd to się bierze: parujemy pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim itd. — każda para ma tę samą sumę $a_1+a_n$.

Uwaga: odpowiedź D to wzór na wyraz ogólny, nie na sumę.

Odpowiedź: C. $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.

Krok 1 — ile jest składników:

$$n=\frac{200}{2}=100$$

Krok 2 — suma:

$$S=\frac{2+200}{2}\cdot100=101\cdot100=10\,100$$

Odpowiedź: $10\,100$.

Liczymy różnicę kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1}-a_n=\bigl[4(n+1)-1\bigr]-(4n-1)=4$$

Reguła. Gdy wzór ma postać $a_n=pn+q$, ciąg jest arytmetyczny, a różnica to współczynnik $p$ przy $n$.

Sprawdzenie: $3$, $7$, $11$, $15$ ✔

Odpowiedź: A. $r=4$.

Krok 1 — sprytny zapis. Oznaczmy wyrazy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy suma nie zależy od $r$:

$$(a-r)+a+(a+r)=3a=30 \quad\Rightarrow\quad a=10$$

Krok 2 — iloczyn:

$$(10-r)\cdot10\cdot(10+r)=840$$

$$10\left(100-r^2\right)=840 \quad\Rightarrow\quad 100-r^2=84$$

Krok 3 — różnica:

$$r^2=16 \quad\Rightarrow\quad r=4 \ \text{lub}\ r=-4$$

Krok 4 — wyrazy. Oba przypadki dają ten sam zestaw liczb, tylko w odwrotnej kolejności:

$$6,\ 10,\ 14 \qquad\text{lub}\qquad 14,\ 10,\ 6$$

Sprawdzenie: $6+10+14=30$ ✔ oraz $6\cdot10\cdot14=840$ ✔

Odpowiedź: $6$, $10$, $14$.

Krok 1 — różnica. Od piątego do dwunastego wyrazu jest siedem kroków:

$$41=13+7r \quad\Rightarrow\quad 7r=28 \quad\Rightarrow\quad r=4$$

Krok 2 — pierwszy wyraz:

$$a_1=a_5-4r=13-16=-3$$

Krok 3 — dwudziesty wyraz:

$$a_{20}=-3+19\cdot4=73$$

Krok 4 — suma:

$$S_{20}=\frac{-3+73}{2}\cdot20=35\cdot20=700$$

Kontrola: średni wyraz wynosi $35$, a dwadzieścia takich wyrazów daje $700$ ✔

Odpowiedź: $S_{20}=700$.