Liczba wymierna to taka, którą da się zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych.

$$\sqrt{16}=4,\qquad 0{,}25=\frac14$$

Obie są wymierne. Natomiast $\sqrt2$ nie da się zapisać jako ułamek — jego rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.

Odpowiedź: C. $\sqrt2$.

Dzielimy:

$$\frac{3}{8}=0{,}375$$

Rozwinięcie jest skończone.

Dlaczego: mianownik $8=2^3$ zawiera tylko dwójki, a takie ułamki zawsze mają rozwinięcie skończone.

Odpowiedź: $0{,}375$ — rozwinięcie skończone.

$$\frac13=0{,}(3)=0{,}333\ldots$$

$$\frac{5}{11}=0{,}(45)=0{,}454545\ldots$$

Oba rozwinięcia są nieskończone okresowe — nawias oznacza powtarzający się okres.

Odpowiedź: $0{,}(3)$ oraz $0{,}(45)$.

Krok 1 — rozkładamy mianownik:

$$40=2^3\cdot5$$

Krok 2 — stosujemy kryterium. Ułamek nieskracalny ma rozwinięcie skończone dokładnie wtedy, gdy w rozkładzie mianownika występują wyłącznie dwójki i piątki.

Sprawdzenie: $\frac{7}{40}=0{,}175$ ✔

Odpowiedź: A. skończone.

Najprościej sięgnąć po pierwiastek:

$$\sqrt{10}\approx3{,}16$$

Ponieważ $9\lt 10\lt 16$, mamy $3\lt \sqrt{10}\lt 4$ ✔

Inne przykłady: $\sqrt{11}$, $\sqrt{15}$, a także $\pi$, bo $\pi\approx3{,}14$.

Odpowiedź: np. $\sqrt{10}$.

Korzystamy z własności pierwiastków:

$$\sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{16}=4$$

Ciekawy wniosek: iloczyn dwóch liczb niewymiernych może być liczbą wymierną — a nawet naturalną.

Uwaga: $\sqrt2\cdot\sqrt8\neq\sqrt{10}$ — pierwiastki mnożymy, a nie dodajemy pod pierwiastkiem.

Odpowiedź: B. $4$.

Krok 1 — oznaczamy:

$$x=0{,}666\ldots$$

Krok 2 — mnożymy przez $10$ (okres ma jedną cyfrę):

$$10x=6{,}666\ldots$$

Krok 3 — odejmujemy stronami. Nieskończone ogony się skracają:

$$10x-x=6 \quad\Rightarrow\quad 9x=6$$

Krok 4 — wynik:

$$x=\frac69=\frac23$$

Sprawdzenie: $2:3=0{,}666\ldots$ ✔

Odpowiedź: $\frac23$.

Krok 1 — mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt3$:

$$\frac{6}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}$$

Krok 2 — skracamy:

$$2\sqrt3\approx3{,}46$$

Dlaczego to robimy: mnożenie przez $\frac{\sqrt3}{\sqrt3}$ to mnożenie przez $1$, więc wartość się nie zmienia — zmienia się tylko postać zapisu.

Odpowiedź: $2\sqrt3$.

Obliczamy ostatnią:

$$\sqrt{0{,}25}=0{,}5=\frac12$$

To liczba wymierna. Pozostałe mają rozwinięcia nieskończone i nieokresowe.

Uwaga do odpowiedzi C: dodanie liczby wymiernej do niewymiernej zawsze daje liczbę niewymierną.

Odpowiedź: D. $\sqrt{0{,}25}$.

Krok 1 — szukamy sąsiednich kwadratów:

$$7^2=49,\qquad 8^2=64$$

Krok 2 — wnioskujemy:

$$49\lt 50\lt 64 \quad\Rightarrow\quad 7\lt \sqrt{50}\lt 8$$

Krok 3 — dokładniej. Liczba $50$ leży tuż nad $49$, więc pierwiastek jest niewiele większy od $7$: $\sqrt{50}\approx7{,}07$.

Odpowiedź: $7\lt \sqrt{50}\lt 8$.

Krok 1 — rozkładamy mianownik:

$$12=2^2\cdot3$$

Krok 2 — kryterium. Występuje czynnik $3$, który nie jest ani dwójką, ani piątką, więc rozwinięcie nie może być skończone.

Sprawdzenie: $\frac{5}{12}=0{,}41(6)$ ✔

Ważne: każdy ułamek zwykły ma rozwinięcie skończone albo okresowe — nieokresowe mają wyłącznie liczby niewymierne.

Odpowiedź: A. nieskończone okresowe.

Krok 1 — wyłączamy czynniki przed pierwiastki:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2$$

$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2$$

Krok 2 — dodajemy jak wyrazy podobne:

$$3\sqrt2+2\sqrt2=5\sqrt2\approx7{,}07$$

Pułapka: $\sqrt{18}+\sqrt8\neq\sqrt{26}$. Pierwiastków nie wolno dodawać pod jednym znakiem — własność dotyczy tylko mnożenia i dzielenia.

Odpowiedź: $5\sqrt2$.

Krok 1 — oznaczamy:

$$x=0{,}272727\ldots$$

Krok 2 — mnożymy przez $100$ (okres ma dwie cyfry):

$$100x=27{,}272727\ldots$$

Krok 3 — odejmujemy:

$$99x=27 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$$

Sprawdzenie: $3:11=0{,}272727\ldots$ ✔

Reguła praktyczna: mnożnik dobieramy tak, by miał tyle zer, ile cyfr ma okres.

Odpowiedź: $\frac{3}{11}$.

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów:

$$\left(\sqrt5\right)^2-2^2=5-4=1$$

Zastosowanie: tak właśnie usuwa się niewymierność z mianownika postaci $a+\sqrt b$ — mnożymy przez wyrażenie sprzężone.

Odpowiedź: C. $1$.

Analizujemy po kolei:

$$\sqrt{49}=7 \ \text{— wymierna (naturalna)}$$

$$\sqrt{7}\approx2{,}6458\ldots \ \text{— niewymierna}$$

$$\frac{22}{7}=3{,}(142857) \ \text{— wymierna}$$

$$\pi=3{,}14159\ldots \ \text{— niewymierna}$$

Uwaga na częste nieporozumienie. Ułamek $\frac{22}{7}$ bywa używany jako przybliżenie liczby $\pi$, ale to dwie różne liczby: jedna wymierna, druga nie.

Odpowiedź: wymierne są $\sqrt{49}$ oraz $\frac{22}{7}$.

Pierwiastek z liczby naturalnej jest wymierny tylko wtedy, gdy wychodzi liczba całkowita:

$$\sqrt{1},\ \sqrt{4},\ \sqrt{9},\ \sqrt{16},\ \sqrt{25},\ \dots$$

Kontrprzykład do A: $\sqrt{8}$ jest niewymierny, choć $8$ jest parzyste.

Uwaga do C: pierwiastek z liczby pierwszej jest zawsze niewymierny — to dokładnie odwrotność podanej odpowiedzi.

Odpowiedź: B. gdy $n$ jest kwadratem liczby całkowitej.

Krok 1 — mnożymy przez wyrażenie sprzężone $\sqrt7+\sqrt3$:

$$\frac{4}{\sqrt7-\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt7+\sqrt3}{\sqrt7+\sqrt3}$$

Krok 2 — mianownik z różnicy kwadratów:

$$\left(\sqrt7\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2=7-3=4$$

Krok 3 — całość:

$$\frac{4\left(\sqrt7+\sqrt3\right)}{4}=\sqrt7+\sqrt3$$

Kontrola liczbowa: $\sqrt7\approx2{,}646$ i $\sqrt3\approx1{,}732$, więc wynik to około $4{,}378$. Wyrażenie wyjściowe: $\frac{4}{0{,}914}\approx4{,}38$ ✔

Odpowiedź: $\sqrt7+\sqrt3$.

Krok 1 — oznaczamy:

$$x=2{,}1333\ldots$$

Krok 2 — przesuwamy przecinek przed okres. Przed okresem stoi jedna cyfra, więc mnożymy przez $10$:

$$10x=21{,}333\ldots$$

Krok 3 — przesuwamy o cały okres. Okres ma jedną cyfrę, więc mnożymy przez $100$:

$$100x=213{,}333\ldots$$

Krok 4 — odejmujemy stronami:

$$100x-10x=213-21 \quad\Rightarrow\quad 90x=192$$

Krok 5 — skracamy przez $6$:

$$x=\frac{192}{90}=\frac{32}{15}$$

Sprawdzenie: $32:15=2{,}1333\ldots$ ✔

Odpowiedź: $\frac{32}{15}$.

Suma wymierna. Bierzemy liczby przeciwne:

$$\sqrt2+\left(-\sqrt2\right)=0$$

Inny przykład: $\left(3+\sqrt5\right)+\left(3-\sqrt5\right)=6$ — obie składowe są niewymierne, a suma naturalna.

Suma niewymierna:

$$\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2\approx2{,}83$$

Wniosek metodyczny. Zbiór liczb niewymiernych nie jest zamknięty na dodawanie — w odróżnieniu od zbioru liczb wymiernych, gdzie suma dwóch elementów zawsze pozostaje w zbiorze.

Odpowiedź: np. $\sqrt2$ i $-\sqrt2$ (suma $0$) oraz $\sqrt2$ i $\sqrt2$ (suma $2\sqrt2$).

Krok 1 — założenie nie wprost. Przypuśćmy, że $\sqrt2$ jest wymierna. Wtedy można ją zapisać jako ułamek nieskracalny:

$$\sqrt2=\frac{p}{q}, \qquad p,q \ \text{całkowite}, \ q\neq0$$

Krok 2 — podnosimy do kwadratu:

$$2=\frac{p^2}{q^2} \quad\Rightarrow\quad p^2=2q^2$$

Krok 3 — wniosek o $p$. Liczba $p^2$ jest parzysta, a kwadrat liczby nieparzystej jest nieparzysty, więc $p$ musi być parzyste. Zapiszmy $p=2k$.

Krok 4 — podstawiamy:

$$(2k)^2=2q^2 \quad\Rightarrow\quad 4k^2=2q^2 \quad\Rightarrow\quad q^2=2k^2$$

Krok 5 — wniosek o $q$. Tym samym rozumowaniem $q$ też jest parzyste.

Krok 6 — sprzeczność. Skoro $p$ i $q$ są parzyste, ułamek $\frac{p}{q}$ da się skrócić przez $2$ — a założyliśmy, że jest nieskracalny. Otrzymana sprzeczność obala założenie. $\qquad ∎$

Uwaga historyczna. To jeden z najstarszych znanych dowodów nie wprost. Odkrycie liczb niewymiernych podważyło przekonanie pitagorejczyków, że każdą wielkość da się wyrazić stosunkiem liczb całkowitych — a $\sqrt2$ to przecież przekątna kwadratu o boku $1$.