1. $f^\prime(x)=3x^2-12x$, $f^\prime(1)=3-12=-9$.

Odpowiedź: $-9$

1. $f^\prime(x)=3x^2+2mx+3\ge0$ dla każdego $x$ ⇔ $\Delta=4m^2-36\le0$ ⇔ $m\in[-3,3]$.

Odpowiedź: $m\in[-3,3]$

1. $f(1)=0$, $f^\prime(x)=3x^2-2$, $f^\prime(1)=1$.
2. $y=1\cdot(x-1)+0=x-1$.

Odpowiedź: $y=x-1$

1. $f(x)=x+\frac3x$, $f(1)=4$.
2. $f^\prime(x)=1-\frac3{x^2}$, $f^\prime(1)=-2$.
3. $y=-2(x-1)+4=-2x+6$.

Odpowiedź: $y=-2x+6$

1. $f^\prime(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$.
2. $f^\prime\gt 0$ dla $x\lt -1$ lub $x\gt 3$; $f^\prime\lt 0$ dla $-1\lt x\lt 3$.
3. Maksimum: $f(-1)=-1-3+9+1=6$; minimum: $f(3)=27-27-27+1=-26$.

Odpowiedź: rośnie na $(-\infty,-1]$ i $[3,\infty)$, maleje na $[-1,3]$; $f_{\max}=f(-1)=6$, $f_{\min}=f(3)=-26$

1. $f^\prime(x)=3x^2-3=0 \iff x=\pm1$ (oba w przedziale).
2. $f(-2)=-2$, $f(-1)=2$, $f(1)=-2$, $f(3)=18$.
3. Najmniejsza: $-2$ (dla $x=-2$ i $x=1$), największa: $18$ (dla $x=3$).

Odpowiedź: najmniejsza $-2$, największa $18$

1. $D=\mathbb R\setminus\{1\}$. $f^\prime(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$.
2. $f^\prime\gt 0$ dla $x\lt 0$ lub $x\gt 2$; $f^\prime\lt 0$ dla $x\in(0,1)\cup(1,2)$.
3. Maksimum lokalne $f(0)=0$, minimum lokalne $f(2)=4$.

Odpowiedź: rośnie na $(-\infty,0]$ i $[2,\infty)$, maleje na $[0,1)$ i $(1,2]$; $f_{\max}=f(0)=0$, $f_{\min}=f(2)=4$

1. $\frac{3x_0^2+1}{x_0^2+1}=2 \Rightarrow x_0^2=1 \Rightarrow x_0=1$.
2. $f^\prime(x)=\frac{6x(x^2+1)-(3x^2+1)2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$, $f^\prime(1)=1$.
3. $y=1\cdot(x-1)+2=x+1$.

Odpowiedź: $y=x+1$

1. $f^\prime(x)=3x^2-3=9 \Rightarrow x=\pm2$.
2. $f(2)=4$: $y=9(x-2)+4=9x-14$.
3. $f(-2)=0$: $y=9(x+2)=9x+18$.

Odpowiedź: $y=9x-14$ oraz $y=9x+18$

1. Funkcja $f(x)=x^3-3x^2-9x+1$ (zadanie PR18.5): maksimum lokalne $6$ w $x=-1$, minimum lokalne $-26$ w $x=3$; $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$.
2. Prosta $y=k$ przecina wykres w trzech punktach ⇔ $k$ leży ściśle między minimum a maksimum lokalnym.
3. $k\in(-26,6)$.

Odpowiedź: $k\in(-26,6)$

1. $f'(x)=3x^2$.
2. $f'(-1)=3\cdot(-1)^2=3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B gubi kwadrat przy $(-1)^2$, C to $f(-1)$, D to $(-1)^2$ bez mnożnika $3$.

1. $(4x^3)'=12x^2$, $(-5x)'=-5$, $(2)'=0$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A nie różniczkuje $-5x$, C nie mnoży przez wykładnik, D różniczkuje stałą.

1. $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$, zera: $-1$ i $1$.
2. Znak $f'$: $+$ na $(-\infty,-1)$, $-$ na $(-1,1)$ — w $x=-1$ pochodna zmienia znak z $+$ na $-$: maksimum.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A to minimum lokalne, B to miejsce zerowe funkcji, D to współczynnik.

1. $f'(x)=-2x+8\ge0\iff x\le4$.
2. Funkcja rośnie na $(-\infty,4\rangle$ (wierzchołek paraboli w $x=4$).

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A to przedział malenia, B i C mylą wierzchołek z miejscami zerowymi.

1. $f(3)=9-12=-3$.
2. $f'(x)=2x-4$, $f'(3)=2$.
3. $y=f'(3)(x-3)+f(3)=2(x-3)-3=2x-9$.

Odpowiedź: $y=2x-9$