Zapis rozwiązania układu równań w postaci \((3, –2)\) oznacza, że szukamy układu równań, którego rozwiązaniem jest para liczb \(x=3\) oraz \(y=-2\). Teoretycznie moglibyśmy rozwiązać każdy układ równań osobno i w ten sposób wskazalibyśmy poprawny wynik. Jednak to zadanie można zrobić nieco sprytniej. Widzimy, że w każdym z układów drugie równanie ma po lewej stronie wyrażenie \(-3x+2y\). Możemy więc sprawdzić jaką wartość przyjmie to wyrażenie dla \(x=3\) oraz \(y=-2\) i tym samym zobaczymy która z odpowiedzi jest prawidłowa:
$$-3x+2y=-3\cdot3+2\cdot(-2)=-9+(-4)=-9-4=-13$$

Otrzymaliśmy informację, że dla pary liczb \((3,-2)\) wyrażenie \(-3x+2y\) powinno przyjąć wartość równą \(-13\), a taka sytuacja znalazła się jedynie w odpowiedzi B.

Krok 1. Zapisanie wszystkich liczb w postaci pierwiastka.
Gdybyśmy mieli kalkulator, to moglibyśmy obliczyć przybliżone wartości każdej z podanych liczb. Niestety na egzaminie nie możemy korzystać z kalkulatora, a raczej mało kto pamięta zaokrąglenie pierwiastków typu \(\sqrt{8}\), czy też \(\sqrt{6}\). Z tego też względu musimy do tego zadania podejść nieco inaczej. Każdą z liczb musimy sprowadzić do postaci pojedynczego pierwiastka, czyli musimy tak naprawdę wykonać czynność odwrotną do wyłączania czynnika przed znak pierwiastka:
\(a=4\sqrt{3}=\sqrt{4^2\cdot3}=\sqrt{16\cdot3}=\sqrt{48} \           ,\
b=3\sqrt{8}=\sqrt{3^2\cdot8}=\sqrt{9\cdot8}=\sqrt{72} \           ,\
c=6\sqrt{2}=\sqrt{6^2\cdot2}=\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{72} \           ,\
d=2\sqrt{6}=\sqrt{2^2\cdot6}=\sqrt{4\cdot6}=\sqrt{24}\)

Krok 2. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Im większa liczba pod pierwiastkiem, tym nasza liczba jest większa. Z tego też względu:
Odp. A. jest błędna, bo \(a\lt b\)
Odp. B. jest błędna, bo \(b=c\)
Odp. C. jest poprawna
Odp. D. jest błędna, bo \(c\gt d\)

Krok 1. Obliczenie objętości zbiornika.
Z treści zadania wynika informacja, że po dolaniu \(12\) litrów wody napełnienie wzrosło z \(65\%\) do \(80\%\), czyli wzrosło o \(15\%\). Możemy więc ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(12\) litrów to \(15\%\) pojemności zbiornika
To \(4\) litry to \(5\%\) pojemności zbiornika
Więc \(80\) litrów to \(100\%\) pojemności zbiornika

Krok 2. Obliczenie ile litrów wody jest w zbiorniku.
Wiemy, że zbiornik ma \(80\) litrów i jest napełniony w \(80\%\)-tach. Zatem ilość wody w zbiorniku to:
$$0,8\cdot80l=64l$$

Cecha podzielności liczb przez \(3\) związana jest z sumą cyfr danej liczby. Liczba jest podzielna przez \(3\) tylko i wyłącznie wtedy, gdy suma jej cyfr jest być podzielna przez \(3\). Aby dojść do tego która z podanych liczb jest podzielna przez \(3\) to zastanówmy się najpierw jak wygląda liczba \(10^{23}\). Jest to jedynka na początku, a dalej są już same zera. Suma cyfr takiej liczby byłaby więc równa \(1\).

W związku z tym liczba \(a=10^{23}+1\) będzie miała sumę cyfr równą \(2\) (to będzie tak naprawdę jedynka na początku, same zera w środku i jedynka na końcu). To oznacza, że ta liczba nie jest podzielna przez \(3\).

Bardzo podobnie możemy przeanalizować trzecią liczbę, czyli \(c=10^{23}+2\). Suma cyfr tej liczby będzie równa \(3\) (to będzie jedynka na początku, same zera w środku oraz \(2\) na końcu), zatem ta liczba jest podzielna przez \(3\).

Najtrudniejsza do oceny jest ta druga liczba. Gdybyśmy mieli \(10^3-1\), to mielibyśmy działanie \(1000-1=999\). Gdybyśmy mieli \(10^4-1\), to analogicznie byłoby to \(10000-1=9999\). Widzimy wyraźnie, że w takich zapisach mamy same dziewiątki, a tych dziewiątek jest dokładnie tyle ile jest równy wykładnik potęgi przy dziesiątce. W zapisie \(10^{23}-1\) będziemy mieć analogiczną sytuację i ta liczba to będą dwadzieścia trzy dziewiątki obok siebie. To oznacza, że suma cyfr tej liczby jest na pewno podzielna przez \(3\). Jakby ktoś nie był tego pewien, to możemy obliczyć że suma cyfr jest równa \(23\cdot9=207\), a liczba \(207\) jest podzielna przez \(3\).

To oznacza, że podzielne przez \(3\) są liczby \(b\) oraz \(c\).

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej podanych liczb.
Średnia arytmetyczna podanych liczb jest równa:
$$śr=\frac{4+9+11+15+21}{5}=\frac{60}{5}=12$$

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich liczb po dopisaniu jednej liczby.
Wiemy, że po dopisaniu jednej liczby średnia arytmetyczna wzrosła o \(1\), czyli wynosi teraz \(12+1=13\). Skoro mamy teraz \(6\) liczb (bo było pięć liczb, a jedną jeszcze dopisaliśmy) i ich średnia arytmetyczna jest równa \(13\), to suma wszystkich liczb z tego zbioru musi być równa:
$$6\cdot13=78$$

Krok 3. Obliczenie wartości poszukiwanej liczby.
Skoro suma pięciu początkowych liczb była równa \(60\), a po dopisaniu szóstej liczby jest równa \(78\), to oznacza że ta dopisana liczba jest równa:
$$78-60=18$$

Krok 1. Obliczenie ilości miejsc siedzących w każdym z proponowanych ustawień.
Wszystkie odpowiedzi są związane z ilością miejsc jakie możemy uzyskać w każdym sposobie ustawienia stołów, dlatego najpierw policzmy ile miejsc siedzących mamy przy każdym z proponowanych ustawień:

Ustawienie stołów na I sposób:
Do ustawienia stołów w taki trójkąt potrzeba \(3\) stołów. Wszystkich stołów mamy \(36\), czyli takich trójkątów jesteśmy w stanie zbudować:
$$36:3=12$$

Zgodnie z rysunkiem, każdy pojedynczy trójkąt daje nam \(9\) miejsc siedzących, zatem skoro takich trójkątów jesteśmy w stanie zbudować \(12\), to łączna liczba miejsc siedzących jest równa:
$$12\cdot9=108$$

Ustawienie stołów na II sposób:
Do zbudowania takiego ustawienia potrzeba \(2\) stoły. Wszystkich stołów mamy \(36\), czyli takich sześciokątów jesteśmy w stanie zbudować:
$$36:2=18$$

Zgodnie z rysunkiem, każdy pojedynczy sześciokąt daje nam \(6\) miejsc siedzących, zatem skoro takich sześciokątów jesteśmy w stanie zbudować \(18\), to łączna liczba miejsc siedzących jest równa:
$$18\cdot6=108$$

Ustawienie stołów na III sposób:
Do zbudowania takiego ustawienia potrzeba \(6\) stołów. Wszystkich stołów mamy \(36\), czyli takich pierścieni jesteśmy w stanie zbudować:
$$36:6=6$$

Zgodnie z rysunkiem, każdy pojedynczy pierścień daje nam \(12\) miejsc siedzących, zatem skoro takich pierścieni jesteśmy w stanie zbudować \(6\), to łączna liczba miejsc siedzących jest równa:
$$6\cdot12=72$$

Krok 2. Weryfikacja poprawności odpowiedzi.
Mając taki komplet danych jesteśmy w stanie zweryfikować, które zdanie jest fałszywe.
Odp. A. To zdanie jest prawdą, bo faktycznie w I i II sposobie mamy \(108\) miejsc siedzących.
Odp. B. To zdanie jest prawdą, bo najmniej miejsc siedzących (tylko \(72\)) otrzymaliśmy w III sposobie.
Odp. C. To zdanie jest prawdą, bo wyszło nam że faktycznie w I sposobie mamy \(108\) miejsc siedzących.
Odp. D. To zdanie jest fałszem, bo w II sposobie mamy \(108\) miejsc siedzących.