Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=2,\;b=5,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot2\cdot(-3)=25-(-24)=25+24=49 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-7}{2\cdot2}=\frac{-12}{4}=-3 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+7}{2\cdot2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni (bo \(a=2\)), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą (punkty \(x=-3\) oraz \(x=\frac{1}{2}\) będą mieć niezamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i szkicujemy wykres paraboli:



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości większe lub równe zero dla sumy przedziałów: \(x\in(-\infty;-3)\cup(\frac{1}{2};+\infty)\).

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Wyłączając przed nawias wartość \((x+3)\) otrzymamy:
$$x^3+3x^2+2x+6=0 \           ,\
x^2(x+3)+2(x+3)=0 \           ,\
(x+3)(x^2+2)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Mamy daną postać iloczynową, czyli aby równanie było równe zero, to któryś z nawiasów musi nam to równanie "wyzerować", zatem:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x^2+2=0 \           ,\
x=-3 \quad\lor\quad x^2=-2$$

Z racji tego, iż nie istnieje żadna liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu da wynik ujemny, to jedynym rozwiązaniem tej równości jest \(x=-3\).

Podnosimy wartość w nawiasie do kwadratu (zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia), a następnie stosujemy tzw. "jedynkę trygonometryczną":
$$(sinα+cosα)^2=\frac{3}{2} \           ,\
sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=\frac{3}{2} \           ,\
sin^2α+cos^2α+2sinαcosα=\frac{3}{2} \           ,\
1+2sinαcosα=\frac{3}{2} \           ,\
2sinαcosα=\frac{1}{2} \           ,\
sinαcosα=\frac{1}{4}$$

Rozpatrzmy najpierw trójkąty \(ABC\) oraz \(FBG\). Oba są prostokątne i mają wspólny kąt \(\sphericalangle GBF\). Możemy sobie ten kąt oznaczyć jako \(α\) (patrz: rysunek). Skoro te dwie miary kątów w tych trójkątach (kąt prosty oraz kąt \(α\)) są jednakowe, to znaczy że także trzeci kąt ma jednakową miarę, czyli możemy zapisać, że \(|\sphericalangle GFB|=|\sphericalangle ACB|=β\). Mamy więc w tym momencie następującą sytuację:



To teraz spójrzmy na trójkąt \(CDE\). Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie, są one dokładnie takie same jak w trójkącie \(FBG\), a więc i trzeci kąt musi być jednakowy, nie ma innej możliwości. Dzięki temu wiemy, że na pewno także \(|\sphericalangle CDE|=β\). To w zasadzie kończy nasze dowodzenie, bo udowodniliśmy, że trójkąty te są podobne na podstawie cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt.

Krok 1. Zapisanie sumy dwóch kolejnych wyrazów ciągu.
Sumę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu zapiszemy jako:
$$S=a_{1}+a_{2} \\
S=2n^2+2n+2(n+1)^2+2(n+1) \           ,\
S=2n^2+2n+2(n^2+2n+1)+2n+2 \           ,\
S=2n^2+2n+2n^2+4n+2+2n+2 \           ,\
S=4n^2+8n+4$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Aby móc udowodnić tezę zawartą w zadaniu musimy przedstawić ten wynik w formie jakiejś potęgi. Z pomocą przychodzą nam wzory skróconego mnożenia, a konkretnie na potęgę sumy: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tym wzorem:
$$S=4n^2+8n+4=(2n+2)^2$$

\(2n+2\) jest zawsze liczbą naturalną, bo z definicji ciągów wiemy, że \(n\in N\), a liczba naturalna pomnożona przez \(2\) i powiększona o \(2\) dalej jest liczbą naturalną. To oznacza, że dowód został zakończony.

Z treści zadania wynika, że \(a_{1}=7\), \(a_{n}=89\) oraz \(S_{n}=2016\). Podstawiając te dane do wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymamy:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \           ,\
2016=\frac{7+89}{2}\cdot n \           ,\
2016=\frac{96}{2}\cdot n \           ,\
2016=48n \           ,\
n=42$$

To oznacza, że nasz ciąg ma \(42\) wyrazy.

Jeśli przyjmiemy, że najmniejszy kąt ma miarę równą \(α\), to wtedy dwa kolejne kąty opiszemy jako \(3α\) oraz \(α+50°\). Skoro suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), to otrzymamy:
$$α+3α+α+50°=180° \           ,\
5α=130° \           ,\
α=26°$$

Kąty w tym trójkącie mają więc miarę: \(26°\), \(3\cdot26=78°\) oraz \(26+50=76°\).

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(x\) - początkowa liczba osób, które chciały pojechać na biwak
\(y\) - początkowy koszt wynajęcia busa na jedną osobę
\(960\) - całkowity koszt wynajęcia busa

\(x+2\) - liczba wyjeżdżających po dołączeniu dwóch osób
\(y-16\) - koszt wynajęcia busa na jedną osobę po dołączeniu dwóch osób

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Na podstawie powyższych informacji możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
xy=960 \           ,\
(x+2)(y-16)=960
\end{cases}\begin{cases}
xy=960 \           ,\
xy-16x+2y-32=960
\end{cases}

Podstawiając \(xy=960\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$960-16x+2y-32=960 \           ,\
-16x+2y-32=0 \           ,\
2y=16x+32 \           ,\
y=8x+16$$

Podstawiając teraz \(y=8x+16\) do równania \(xy=960\) otrzymamy:
$$x\cdot(8x+16)=960 \           ,\
8x^2+16x=960 \quad\bigg/:8 \           ,\
x^2+2x=120 \           ,\
x^2+2x-120=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-120\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-120)=4-(-480)=4+480=484 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{484}=22$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-22}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+22}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10$$

Krok 4. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Ujemne rozwiązanie odrzucamy, zatem otrzymaliśmy że \(x=10\). Zgodnie z naszymi oznaczeniami jest to początkowa liczba osób, które chciały pojechać na biwak, ale wiemy, że dołączyły do nich jeszcze dwie osoby. Zatem ostatecznie na biwak pojechało \(12\) osób.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych mamy \(90\). Skoro losowanie odbywa się bez zwracania, to w pierwszym losowaniu mamy \(90\) różnych możliwości, natomiast w drugim już tylko \(89\) (bo odpada nam liczba, która była przed chwilą wylosowana). Stąd też wszystkich zdarzeń elementarnych mamy łącznie:
$$|Ω|=90\cdot89=8010$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest takie, którego suma dwóch liczb jest równa \(30\). Takimi zdarzeniami będą:
$$(10;20), (11;19), (12;18), (13;17), (14;16), \           ,\
(16;14), (17;13), (18;12), (19;11), (20;10)$$

Łącznie jest to \(10\) różnych zdarzeń, tak więc \(|A|=10\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{10}{8010}=\frac{1}{801}$$