LekcjeRazem

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(x\) - początkowa liczba osób, które chciały pojechać na biwak
\(y\) - początkowy koszt wynajęcia busa na jedną osobę
\(960\) - całkowity koszt wynajęcia busa

\(x+2\) - liczba wyjeżdżających po dołączeniu dwóch osób
\(y-16\) - koszt wynajęcia busa na jedną osobę po dołączeniu dwóch osób

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Na podstawie powyższych informacji możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
xy=960 \           ,\
(x+2)(y-16)=960
\end{cases}\begin{cases}
xy=960 \           ,\
xy-16x+2y-32=960
\end{cases}

Podstawiając \(xy=960\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$960-16x+2y-32=960 \           ,\
-16x+2y-32=0 \           ,\
2y=16x+32 \           ,\
y=8x+16$$

Podstawiając teraz \(y=8x+16\) do równania \(xy=960\) otrzymamy:
$$x\cdot(8x+16)=960 \           ,\
8x^2+16x=960 \quad\bigg/:8 \           ,\
x^2+2x=120 \           ,\
x^2+2x-120=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-120\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-120)=4-(-480)=4+480=484 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{484}=22$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-22}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+22}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10$$

Krok 4. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Ujemne rozwiązanie odrzucamy, zatem otrzymaliśmy że \(x=10\). Zgodnie z naszymi oznaczeniami jest to początkowa liczba osób, które chciały pojechać na biwak, ale wiemy, że dołączyły do nich jeszcze dwie osoby. Zatem ostatecznie na biwak pojechało \(12\) osób.