LekcjeRazem

Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji trygonometrycznej.

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\):

\(6\left(1-\cos^2 x\right)+7\cos x-1=0\)

\(6-6\cos^2 x+7\cos x-1=0\)

\(6\cos^2 x-7\cos x-5=0\)

Krok 2. Równanie kwadratowe z niewiadomą \(t=\cos x\).

\(6t^2-7t-5=0\)

\(\Delta=49+120=169\), \(\;\sqrt{\Delta}=13\)

\(t_1=\frac{7-13}{12}=-\frac{1}{2}\), \(\;t_2=\frac{7+13}{12}=\frac{5}{3}\)

Krok 3. Powrót do zmiennej \(x\).

Ponieważ \(\cos x\in\langle-1,1\rangle\), wartość \(t_2=\frac{5}{3}\gt 1\) odrzucamy.

\(\cos x=-\frac{1}{2}\)

W przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\):

\(x=\frac{2\pi}{3}\) lub \(x=\frac{4\pi}{3}\)

Odpowiedź: \(x=\frac{2\pi}{3}\), \(x=\frac{4\pi}{3}\) (czyli \(120^\circ\) i \(240^\circ\))