LekcjeRazem

Etap I. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

\(\Delta=(m-2)^2-4\cdot 2\cdot(-3m)=m^2-4m+4+24m=m^2+20m+4\)

\(\Delta\gt 0\iff m^2+20m+4\gt 0\)

\(\Delta_m=400-16=384\), \(\;\sqrt{384}=8\sqrt{6}\)

Pierwiastki: \(m=\frac{-20\pm 8\sqrt{6}}{2}=-10\pm 4\sqrt{6}\)

\(m\in\left(-\infty,-10-4\sqrt{6}\right)\cup\left(-10+4\sqrt{6},+\infty\right)\)

Etap II. Warunek na pierwiastki.

Zauważamy, że \(x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1-x_2)^2\), a ponadto:

\((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\)

Ze wzorów Viète’a: \(x_1+x_2=\frac{m-2}{2}\), \(\;x_1x_2=-\frac{3m}{2}\)

\((x_1-x_2)^2=\frac{(m-2)^2}{4}+6m=\frac{(m-2)^2+24m}{4}=\frac{m^2+20m+4}{4}\)

Warunek \((x_1-x_2)^2\le 25\):

\(m^2+20m+4\le 100\)

\(m^2+20m-96\le 0\)

\(\Delta_m=400+384=784\), \(\;\sqrt{784}=28\)

\(m\in\langle-24,4\rangle\)

Etap III. Część wspólna.

\(-10-4\sqrt{6}\approx-19{,}80\), \(\;-10+4\sqrt{6}\approx-0{,}20\)

Odpowiedź: \(m\in\left\langle-24,\;-10-4\sqrt{6}\right)\cup\left(-10+4\sqrt{6},\;4\right\rangle\)