LekcjeRazem

Krok 1. Postać odcinkowa prostej.

Niech prosta przecina oś \(Ox\) w punkcie \((p,0)\), a oś \(Oy\) w punkcie \((0,q)\), gdzie \(p\gt 0\) i \(q\gt 0\):

\(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1\)

Krok 2. Warunek na pole trójkąta.

\(\frac{1}{2}pq=36\Rightarrow pq=72\)

Krok 3. Warunek przechodzenia przez punkt \(P\).

\(\frac{8}{p}+\frac{2}{q}=1\)

Podstawiamy \(q=\frac{72}{p}\):

\(\frac{8}{p}+\frac{2p}{72}=1\)

\(\frac{8}{p}+\frac{p}{36}=1\)

Mnożymy przez \(36p\):

\(288+p^2=36p\)

\(p^2-36p+288=0\)

\(\Delta=1296-1152=144\), \(\;\sqrt{\Delta}=12\)

\(p=\frac{36-12}{2}=12\) lub \(p=\frac{36+12}{2}=24\)

Krok 4. Równania prostych.

Dla \(p=24\): \(q=3\), czyli \(\frac{x}{24}+\frac{y}{3}=1\), stąd \(y=-\frac{1}{8}x+3\).

Dla \(p=12\): \(q=6\), czyli \(\frac{x}{12}+\frac{y}{6}=1\), stąd \(y=-\frac{1}{2}x+6\).

Sprawdzenie: dla \(x=8\) pierwsza prosta daje \(y=-1+3=2\) ✓, druga \(y=-4+6=2\) ✓

Odpowiedź: \(y=-\frac{1}{8}x+3\) lub \(y=-\frac{1}{2}x+6\)