LekcjeRazem

Krok 1. Wzór redukcyjny.

\(\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=-\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)

Krok 2. Uproszczenie równania.

\(3\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1\)

\(2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1\)

\(\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\)

Krok 3. Rozwiązania ogólne.

\(x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) lub \(x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\)

\(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}+2k\pi=\frac{5\pi}{12}+2k\pi\)

\(x=\frac{\pi}{4}+\frac{5\pi}{6}+2k\pi=\frac{13\pi}{12}+2k\pi\)

Krok 4. Wybór rozwiązań z przedziału \(\langle 0,2\pi\rangle\).

Dla \(k=0\) otrzymujemy \(x=\frac{5\pi}{12}\) oraz \(x=\frac{13\pi}{12}\); dla pozostałych \(k\) wartości wychodzą poza przedział.

Odpowiedź: \(x=\frac{5\pi}{12}\), \(x=\frac{13\pi}{12}\)