LekcjeRazem

Krok 1. Przekształcenie wyrażenia.

\(n^5-3n^4-n+19=\left(n^5-n\right)-3\left(n^4-1\right)+16\)

Rozkładamy oba składniki na czynniki:

\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)\)

\(n^5-3n^4-n+19=\left(n^4-1\right)(n-3)+16\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)(n-3)+16\)

\(=(n-1)(n+1)\left(n^2+1\right)(n-3)+16\)

Krok 2. Podzielność iloczynu przez \(16\).

Niech \(n=2k+1\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. Wtedy:

\((n-1)(n+1)=2k\cdot(2k+2)=4k(k+1)\)

Liczby \(k\) i \(k+1\) są kolejnymi liczbami całkowitymi, więc ich iloczyn jest parzysty. Zatem \(4k(k+1)\) jest podzielne przez \(8\).

Ponadto \(n^2+1\) jest liczbą parzystą (bo \(n^2\) jest nieparzyste), czyli podzielną przez \(2\).

Iloczyn \((n-1)(n+1)\left(n^2+1\right)(n-3)\) jest więc podzielny przez \(8\cdot 2=16\).

Krok 3. Wniosek.

Wyrażenie jest sumą liczby podzielnej przez \(16\) i liczby \(16\), a zatem samo jest podzielne przez \(16\).

Sprawdzenie: dla \(n=1\): \(1-3-1+19=16\) ✓; dla \(n=3\): \(243-243-3+19=16\) ✓; dla \(n=5\): \(3125-1875-5+19=1264=16\cdot 79\) ✓ \(\blacksquare\)