LekcjeRazem

Krok 1. Oznaczenia.

Przekątna \(AC\) dzieli kąty \(BAD\) i \(BCD\) na części:

\(|\angle BAC|=a_1\), \(\;|\angle CAD|=a_2\), \(\;|\angle BCA|=c_1\), \(\;|\angle ACD|=c_2\)

Ponadto \(|\angle ABC|=\beta\) oraz \(|\angle ADC|=\delta\).

Krok 2. Kąty w trójkącie \(AEC\).

Prosta \(AE\) jest dwusieczną kąta \(BAD\), więc \(|\angle BAE|=\frac{a_1+a_2}{2}\). Ponieważ punkty \(B\) i \(E\) leżą po przeciwnych stronach prostej \(AC\), półprosta \(AE\) leży „za" półprostą \(AC\), zatem:

\(|\angle CAE|=\frac{a_1+a_2}{2}-a_1=\frac{a_2-a_1}{2}\)

Analogicznie dla dwusiecznej kąta \(BCD\):

\(|\angle ACE|=\frac{c_1+c_2}{2}-c_1=\frac{c_2-c_1}{2}\)

Z sumy kątów w trójkącie \(AEC\):

\(|\angle AEC|=180^\circ-\frac{a_2-a_1}{2}-\frac{c_2-c_1}{2}\)

\(2\cdot|\angle AEC|=360^\circ-\left(a_2+c_2\right)+\left(a_1+c_1\right)\)

Krok 3. Sumy kątów w trójkątach \(ABC\) i \(ACD\).

\(a_1+c_1+\beta=180^\circ\Rightarrow a_1+c_1=180^\circ-\beta\)

\(a_2+c_2+\delta=180^\circ\Rightarrow a_2+c_2=180^\circ-\delta\)

Krok 4. Podstawienie.

\(2\cdot|\angle AEC|=360^\circ-\left(180^\circ-\delta\right)+\left(180^\circ-\beta\right)=360^\circ+\delta-\beta\)

Zatem:

\(\beta-\delta+2|\angle AEC|=\beta-\delta+360^\circ+\delta-\beta=360^\circ\)

czyli \(|\angle ABC|-|\angle ADC|+2\cdot|\angle AEC|=360^\circ\), co należało wykazać. \(\blacksquare\)