LekcjeRazem

1) Boki trójkąta. Trójkąt jest prostokątny w \(C\), \(|AC|=8\), \(|BC|=6\), więc

\(|AB|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\).

2) Funkcje trygonometryczne.

Dla kąta \(\alpha\) (przy wierzchołku \(A\)):

\(\sin\alpha=\dfrac{6}{10}=\dfrac35\), \(\ \cos\alpha=\dfrac{8}{10}=\dfrac45\), \(\ \mathrm{ctg}\,\alpha=\dfrac{8}{6}=\dfrac43\).

Dla kąta \(\beta\) (przy wierzchołku \(B\)):

\(\sin\beta=\dfrac{8}{10}=\dfrac45\), \(\ \mathrm{tg}\,\beta=\dfrac{8}{6}=\dfrac43\).

3) Wartość wyrażenia. Zauważmy, że \(\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{\sin^2\alpha}=\sin\alpha=\dfrac35\) (bo \(\sin\alpha>0\)).

\(\mathrm{tg}^2\beta-5\sin\beta\cdot\mathrm{ctg}\,\alpha+\sin\alpha=\left(\dfrac43\right)^2-5\cdot\dfrac45\cdot\dfrac43+\dfrac35\),

\(=\dfrac{16}{9}-\dfrac{16}{3}+\dfrac35=\dfrac{16}{9}-\dfrac{48}{9}+\dfrac35=-\dfrac{32}{9}+\dfrac35\),

\(=\dfrac{-160+27}{45}=-\dfrac{133}{45}\approx-2{,}96\).