LekcjeRazem

Oznaczmy: \(a\) — dłuższa podstawa, \(b\) — krótsza, \(c\) i \(d\) — ramiona leżące przy kątach odpowiednio \(60^\circ\) i \(30^\circ\), \(h=6\) — wysokość.

1) Długości ramion. Wysokość opuszczona z końca krótszej podstawy tworzy trójkąt prostokątny z ramieniem:

\(c=\dfrac{h}{\sin60^\circ}=\dfrac{6}{\tfrac{\sqrt3}{2}}=4\sqrt3\), \(\ d=\dfrac{h}{\sin30^\circ}=\dfrac{6}{\tfrac12}=12\).

2) Rzuty ramion na dłuższą podstawę.

\(x=\dfrac{h}{\mathrm{tg}\,60^\circ}=\dfrac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3\), \(\ y=\dfrac{h}{\mathrm{tg}\,30^\circ}=6\sqrt3\).

Stąd \(a=b+x+y=b+8\sqrt3\).

3) Warunek opisania na okręgu. W czworokącie opisanym sumy przeciwległych boków są równe:

\(a+b=c+d=4\sqrt3+12\).

4) Podstawy. Podstawiając \(a=b+8\sqrt3\):

\(2b+8\sqrt3=4\sqrt3+12\),

\(2b=12-4\sqrt3\), czyli \(b=6-2\sqrt3\approx2{,}54\),

\(a=b+8\sqrt3=6-2\sqrt3+8\sqrt3=6+6\sqrt3\approx16{,}39\).

5) Pole trapezu.

\(P=\dfrac{a+b}{2}\cdot h=\dfrac{4\sqrt3+12}{2}\cdot6=\left(2\sqrt3+6\right)\cdot6=12\sqrt3+36=12\left(3+\sqrt3\right)\approx56{,}78\).