LekcjeRazem

Zbiór \(A\). Zakładamy \(x\neq0\) i przekształcamy nierówność wymierną:

\(\dfrac{3}{x}\le1\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{3}{x}-1\le0\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{3-x}{x}\le0\).

Mnożąc przez \(x^2>0\) otrzymujemy \(x(3-x)\le0\), czyli \(x(x-3)\ge0\), a więc \(x\le0\) lub \(x\ge3\). Uwzględniając \(x\neq0\):

\(A=(-\infty,0)\cup\langle3,+\infty)\).

Zbiór \(B\). Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej:

\(|x+1|\lt 3\ \Longleftrightarrow\ -3\lt x+1\lt 3\ \Longleftrightarrow\ -4\lt x\lt 2\),

czyli \(B=(-4,2)\).

a) Na osi liczbowej: zbiór \(A\) to cała półprosta na lewo od \(0\) (bez \(0\)) oraz półprosta od \(3\) w prawo (z \(3\)); zbiór \(B\) to odcinek otwarty między \(-4\) a \(2\).

b) Suma i różnica.

\(A\cup B=\bigl[(-\infty,0)\cup(-4,2)\bigr]\cup\langle3,+\infty)=(-\infty,2)\cup\langle3,+\infty)\),

\(A\setminus B\): z przedziału \((-\infty,0)\) usuwamy część wspólną z \((-4,2)\), zostaje \((-\infty,-4\rangle\); przedział \(\langle3,+\infty)\) jest rozłączny z \(B\), więc pozostaje w całości:

\(A\setminus B=(-\infty,-4\rangle\cup\langle3,+\infty)\).