LekcjeRazem

Dziedzina: \(\sin x\neq0\), czyli \(x\neq k\pi\).

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego \(\cos\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x\) oraz \(\mathrm{ctg}\,x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\):

\(\dfrac{1}{\sin x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}-\sin x=0\).

Mnożymy obie strony przez \(\sin x\neq0\):

\(1+\cos x-\sin^2x=0\).

Z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2x=1-\cos^2x\):

\(1+\cos x-1+\cos^2x=0\), czyli \(\cos x(1+\cos x)=0\).

• \(\cos x=0\) daje \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\); wtedy \(\sin x=\pm1\neq0\), więc wartości te należą do dziedziny.

• \(\cos x=-1\) daje \(x=\pi+2k\pi\), ale wtedy \(\sin x=0\) — odrzucamy.

Odpowiedź: \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą.