LekcjeRazem

Przyjmijmy \(|CS|=2t\) i \(|SB|=5t\), gdzie \(t>0\); wtedy \(|BC|=7t\).

Podstawy trapezu. Odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu do okręgu są równe. Z symetrii trapezu równoramiennego okrąg jest styczny do podstaw w ich środkach, więc

\(|CD|=2|CS|=4t\) oraz \(|AB|=2|SB|=10t\).

(Zgadza się to z warunkiem opisania okręgu: \(|AB|+|CD|=14t=|BC|+|AD|\).)

a) Długość ramienia. Wysokość trapezu jest równa \(2r\), a rzut ramienia na podstawę wynosi \(\dfrac{|AB|-|CD|}{2}=3t\). Z twierdzenia Pitagorasa:

\((2r)^2=|BC|^2-(3t)^2=49t^2-9t^2=40t^2\),

stąd \(2r=2t\sqrt{10}\), czyli \(t=\dfrac{r}{\sqrt{10}}\).

Zatem

\(|BC|=7t=\dfrac{7r}{\sqrt{10}}=\dfrac{7r\sqrt{10}}{10}\).

b) Cosinus kąta \(CBD\). Wprowadźmy układ współrzędnych: \(A=(0,0)\), \(B=(10t,0)\), \(D=(3t,h)\), \(C=(7t,h)\), gdzie \(h=2t\sqrt{10}\).

\(\overrightarrow{BC}=(-3t,\ 2t\sqrt{10})\), \(\ |BC|=7t\);

\(\overrightarrow{BD}=(-7t,\ 2t\sqrt{10})\), \(\ |BD|=\sqrt{49t^2+40t^2}=t\sqrt{89}\).

Iloczyn skalarny: \(\overrightarrow{BC}\circ\overrightarrow{BD}=21t^2+40t^2=61t^2\), więc

\(\cos|\sphericalangle CBD|=\dfrac{61t^2}{7t\cdot t\sqrt{89}}=\dfrac{61}{7\sqrt{89}}=\dfrac{61\sqrt{89}}{623}\approx0{,}924\).