LekcjeRazem

Rozwiązanie układu. Wyznacznik główny:

\(W=\begin{vmatrix}m&-1\\1&m\end{vmatrix}=m^2+1>0\) dla każdego \(m\), więc układ zawsze ma dokładnie jedno rozwiązanie.

\(W_x=\begin{vmatrix}2&-1\\m&m\end{vmatrix}=2m+m=3m\), \(\ W_y=\begin{vmatrix}m&2\\1&m\end{vmatrix}=m^2-2\).

Stąd

\(x=\dfrac{3m}{m^2+1}\), \(\ y=\dfrac{m^2-2}{m^2+1}\).

Najmniejsza wartość sumy. Niech

\(S(m)=x+y=\dfrac{m^2+3m-2}{m^2+1}\).

Obliczamy pochodną:

\(S'(m)=\dfrac{(2m+3)(m^2+1)-(m^2+3m-2)\cdot2m}{(m^2+1)^2}=\dfrac{-3m^2+6m+3}{(m^2+1)^2}\).

Licznik zeruje się dla \(m^2-2m-1=0\), czyli \(m=1\pm\sqrt2\). W przedziale \(\langle2,4\rangle\) leży tylko \(m_0=1+\sqrt2\approx2{,}41\), przy czym \(S'>0\) dla \(m\lt m_0\) i \(S'\lt 0\) dla \(m>m_0\) — jest to maksimum.

Wartość najmniejsza jest więc przyjmowana na krańcu przedziału:

\(S(2)=\dfrac{4+6-2}{5}=\dfrac85=1{,}6\), \(\ S(4)=\dfrac{16+12-2}{17}=\dfrac{26}{17}\approx1{,}529\).

Odpowiedź: najmniejsza wartość sumy \(x+y\) wynosi \(\dfrac{26}{17}\) i jest przyjmowana dla \(m=4\).