LekcjeRazem

Dziedzina. Liczba logarytmowana musi być dodatnia:

\(8x-x^2>0\), czyli \(x(8-x)>0\), skąd \(D_f=(0,8)\).

Najmniejsza wartość. Podstawa logarytmu \(\dfrac{\sqrt2}{2}=2^{-\frac12}\) należy do przedziału \((0,1)\), więc funkcja logarytmiczna jest malejąca. Zatem \(f\) przyjmuje wartość najmniejszą wtedy, gdy wyrażenie \(g(x)=8x-x^2\) osiąga wartość największą.

\(g\) jest funkcją kwadratową o ujemnym współczynniku przy \(x^2\), z wierzchołkiem w \(x_0=\dfrac{0+8}{2}=4\):

\(g(4)=32-16=16\).

Stąd

\(f_{\min}=\log_{2^{-\frac12}}16=\dfrac{\log_2 16}{\log_2 2^{-\frac12}}=\dfrac{4}{-\tfrac12}=-8\).

Odpowiedź: \(D_f=(0,8)\), a najmniejsza wartość funkcji wynosi \(-8\) (dla \(x=4\)).