LekcjeRazem

Oznaczmy przez \(r\) promień mniejszego okręgu (o środku \(A\)), przez \(R\) promień większego (o środku \(B\)), a przez \(O\) wierzchołek kąta prostego.

1) Położenie środków. Środek okręgu stycznego do obu ramion kąta jest równoodległy od tych ramion, więc leży na dwusiecznej kąta. Oba środki leżą zatem na tej samej dwusiecznej.

2) Odległości od wierzchołka. Rzuty środka na ramiona i wierzchołek \(O\) tworzą kwadrat o boku równym promieniowi, więc

\(|OA|=r\sqrt2\), \(|OB|=R\sqrt2\).

3) Warunek styczności zewnętrznej. \(|AB|=R+r\). Ponieważ \(A\) leży między \(O\) i \(B\) na dwusiecznej:

\(|AB|=|OB|-|OA|=R\sqrt2-r\sqrt2=\sqrt2\,(R-r)\).

Stąd

\(\sqrt2\,(R-r)=R+r\),

\(R\left(\sqrt2-1\right)=r\left(\sqrt2+1\right)\),

\(\dfrac{R}{r}=\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}=\dfrac{\left(\sqrt2+1\right)^2}{\left(\sqrt2-1\right)\left(\sqrt2+1\right)}=\dfrac{3+2\sqrt2}{1}=3+2\sqrt2\),

co kończy dowód. \(\blacksquare\)