LekcjeRazem

Rano \(n\)-tego dnia skarbnik dorzuca \(a_n=25+2(n-1)=23+2n\) monet (ciąg arytmetyczny).

Po południu \(n\)-tego dnia w skarbcu jest

\(S_n=k+\sum_{i=1}^{n}(23+2i)-50n=k+23n+n(n+1)-50n=k+n^2-26n\).

W ciągu dnia stan skarbca jest najmniejszy właśnie po południu (rano monet przybywa), więc warunek zadania to

\(k+n^2-26n\ge1\) dla każdego \(n\ge1\).

Funkcja \(n\mapsto n^2-26n\) osiąga najmniejszą wartość dla \(n=13\):

\(13^2-26\cdot13=169-338=-169\).

Stąd \(k-169\ge1\), czyli \(k\ge170\), a więc najmniejsza szukana liczba to \(k=170\).

Dla \(k=170\) mamy \(S_{13}=170-169=1\), a dla pozostałych dni \(S_n>1\).

Odpowiedź: \(k=170\), a najmniejsza liczba monet (jedna) była w skarbcu 13. dnia.