LekcjeRazem

a) Z wykresu odczytujemy, że do wykresu należy punkt \((2,3)\), zatem \(a^2=3\). Ponieważ podstawa funkcji wykładniczej jest dodatnia, \(a=\sqrt3\).

b) Mamy \(g(x)=\bigl|(\sqrt3)^x-2\bigr|\). Funkcja \(f(x)=(\sqrt3)^x\) jest rosnąca i przyjmuje wszystkie wartości z przedziału \((0,+\infty)\), a \(f(x)=2\) dla \(x_0=\log_{\sqrt3}2\).

• Dla \(x\lt x_0\): \(g(x)=2-f(x)\) — funkcja malejąca, przyjmująca wartości z przedziału \((0,2)\) (wartości \(2\) nie osiąga, bo \(f(x)>0\)).

• Dla \(x\ge x_0\): \(g(x)=f(x)-2\) — funkcja rosnąca, przyjmująca wszystkie wartości z przedziału \(\langle0,+\infty)\).

Wykres to zatem opadająca gałąź dążąca do poziomej asymptoty \(y=2\) przy \(x\to-\infty\), „odbita” od osi \(Ox\) w punkcie \(x_0\), a następnie rosnąca do nieskończoności.

Liczba rozwiązań równania \(g(x)=m\):

• \(m\lt 0\) — brak rozwiązań,

• \(m=0\) — dokładnie jedno rozwiązanie \((x=x_0)\),

• \(0\lt m\lt 2\) — dwa rozwiązania (po jednym na każdej gałęzi),

• \(m\ge2\) — jedno rozwiązanie (tylko na gałęzi rosnącej).

Odpowiedź: \(m=0\) lub \(m\ge2\).