LekcjeRazem

Prosta równoległa do osi \(Ox\) ma równanie \(y=h\), przy czym musi być \(h>0\), aby przecięła wykres funkcji \(f(x)=\tfrac{1}{x^2}\) (która przyjmuje tylko wartości dodatnie).

Punkty przecięcia. Z równania \(\dfrac{1}{x^2}=h\) mamy \(x^2=\dfrac1h\), czyli \(x=\pm\dfrac{1}{\sqrt h}\). Zatem

\(A=\left(-\tfrac{1}{\sqrt h},h\right)\), \(B=\left(\tfrac{1}{\sqrt h},h\right)\) oraz \(|AB|=\dfrac{2}{\sqrt h}\).

Wysokość. Odległość punktu \(C=(3,-1)\) od prostej \(y=h\) wynosi \(h-(-1)=h+1\).

Pole.

\(P=\tfrac12\cdot\dfrac{2}{\sqrt h}\cdot(h+1)=\dfrac{h+1}{\sqrt h}\).

Podstawiamy \(t=\sqrt h>0\), wtedy

\(P=\dfrac{t^2+1}{t}=t+\dfrac1t\).

Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną (albo z oczywistej nierówności \((t-1)^2\ge0\), czyli \(t^2+1\ge2t\)) otrzymujemy

\(t+\dfrac1t\ge2\) dla każdego \(t>0\).

Zatem \(P\ge2\), przy czym równość zachodzi dla \(t=1\), czyli \(h=1\). \(\blacksquare\)