LekcjeRazem

Skoro \(AB\) jest podstawą trójkąta równoramiennego, to kąty przy podstawie są równe: \(|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle ABC|=30^\circ\), a kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(120^\circ\).

Z twierdzenia sinusów wyznaczamy ramię \(BC\):

\(\dfrac{|BC|}{\sin30^\circ}=\dfrac{|AB|}{\sin120^\circ}\), stąd \(|BC|=\dfrac{8\cdot\tfrac12}{\tfrac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{8}{\sqrt3}=\dfrac{8\sqrt3}{3}\).

Punkt \(D\) jest środkiem boku \(BC\), więc \(|BD|=\dfrac{4\sqrt3}{3}\).

W trójkącie \(ABD\) stosujemy twierdzenie cosinusów dla kąta \(|\sphericalangle ABD|=30^\circ\):

\(|AD|^2=|AB|^2+|BD|^2-2|AB||BD|\cos30^\circ\),

\(|AD|^2=64+\dfrac{16}{3}-2\cdot8\cdot\dfrac{4\sqrt3}{3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=64+\dfrac{16}{3}-32=32+\dfrac{16}{3}=\dfrac{112}{3}\).

Stąd \(|AD|=\sqrt{\dfrac{112}{3}}=\dfrac{4\sqrt7}{\sqrt3}=\dfrac{4\sqrt{21}}{3}\approx6{,}11\).