LekcjeRazem

Przekształcamy wyrażenie, wyłączając \(k^2\) przed nawias:

\(k^6-2k^4+k^2=k^2(k^4-2k^2+1)=k^2(k^2-1)^2=\bigl[k(k-1)(k+1)\bigr]^2\).

Liczby \(k-1,\ k,\ k+1\) są trzema kolejnymi liczbami całkowitymi, zatem:

• co najmniej jedna z nich jest podzielna przez 2,

• dokładnie jedna z nich jest podzielna przez 3.

Ponieważ \(2\) i \(3\) są względnie pierwsze, iloczyn \(k(k-1)(k+1)\) jest podzielny przez \(6\), czyli \(k(k-1)(k+1)=6t\) dla pewnej liczby całkowitej \(t\).

Stąd

\(k^6-2k^4+k^2=(6t)^2=36t^2\),

a więc badana liczba jest podzielna przez 36 dla każdej liczby całkowitej \(k\). \(\blacksquare\)