Krok 1. Wzory Viète'a.
$$S=x_1+x_2=m+2,\qquad P=x_1x_2=m+4.$$
Krok 2. Warunek dwóch różnych pierwiastków.
$$\Delta=(m+2)^{2}-4(m+4)=m^{2}+4m+4-4m-16=m^{2}-12.$$
$$\Delta>0\ \Longleftrightarrow\ m^{2}>12\ \Longleftrightarrow\ |m|>2\sqrt{3}\approx3{,}46.$$
Krok 3. Wyrażenie $x_1^{4}+x_2^{4}$. Korzystamy dwukrotnie ze wzoru na sumę kwadratów:
$$x_1^{2}+x_2^{2}=S^{2}-2P=(m+2)^{2}-2(m+4)=m^{2}+2m-4,$$
$$x_1^{4}+x_2^{4}=\left(x_1^{2}+x_2^{2}\right)^{2}-2\left(x_1x_2\right)^{2}=\left(m^{2}+2m-4\right)^{2}-2(m+4)^{2}.$$
Krok 4. Rozwinięcie.
$$\left(m^{2}+2m-4\right)^{2}=m^{4}+4m^{3}-4m^{2}-16m+16,$$
$$2(m+4)^{2}=2m^{2}+16m+32,$$
$$x_1^{4}+x_2^{4}=m^{4}+4m^{3}-6m^{2}-32m-16.$$
Krok 5. Równanie na $m$. Przyrównujemy do prawej strony z treści zadania:
$$m^{4}+4m^{3}-6m^{2}-32m-16=4m^{3}+6m^{2}-32m+12.$$
Wyrazy $4m^{3}$ oraz $-32m$ skracają się:
$$m^{4}-12m^{2}-28=0.$$
Krok 6. Podstawienie $u=m^{2}$.
$$u^{2}-12u-28=0,\qquad \Delta=144+112=256,\qquad \sqrt{\Delta}=16.$$
$$u=\frac{12\pm16}{2}\ \Longrightarrow\ u=14\quad\text{lub}\quad u=-2.$$
Ponieważ $u=m^{2}\ge0$, odrzucamy $u=-2$. Zostaje
$$m^{2}=14\ \Longrightarrow\ m=\pm\sqrt{14}.$$
Krok 7. Weryfikacja warunku $\Delta>0$.
$$|{\pm\sqrt{14}}|=\sqrt{14}\approx3{,}74>2\sqrt{3}\approx3{,}46\ \checkmark$$
Obie wartości spełniają warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków.
Kontrola liczbowa dla $m=\sqrt{14}$: $x_1^{2}+x_2^{2}\approx17{,}48$, więc $x_1^{4}+x_2^{4}\approx185{,}8$; prawa strona $\approx185{,}8$ ✓. Dla $m=-\sqrt{14}$ obie strony dają $\approx6{,}2$ ✓
Odpowiedź: $m=-\sqrt{14}$ lub $m=\sqrt{14}$