LekcjeRazem

Krok 1. Własność czworokąta wpisanego w okrąg. Przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$:

$$\angle B+\angle D=180^\circ\ \Longrightarrow\ \cos D=-\cos B.$$

Krok 2. Twierdzenie cosinusów w trójkącie $ABC$. Przekątna $AC$ leży naprzeciw kąta $B$:

$$|AC|^{2}=2^{2}+3^{2}-2\cdot2\cdot3\cos B=13-12\cos B.$$

Krok 3. Twierdzenie cosinusów w trójkącie $ACD$. Ta sama przekątna leży naprzeciw kąta $D$:

$$|AC|^{2}=4^{2}+5^{2}-2\cdot4\cdot5\cos D=41-40\cos D=41+40\cos B.$$

Krok 4. Porównanie i wyznaczenie $\cos B$.

$$13-12\cos B=41+40\cos B\ \Longrightarrow\ -28=52\cos B\ \Longrightarrow\ \cos B=-\frac{7}{13}.$$

Kąt $B$ jest rozwarty — to możliwe, bo czworokąt jest wpisany w okrąg.

Krok 5. Długość przekątnej.

$$|AC|^{2}=13-12\cdot\left(-\frac{7}{13}\right)=13+\frac{84}{13}=\frac{169+84}{13}=\frac{253}{13}.$$

$$|AC|=\sqrt{\frac{253}{13}}=\frac{\sqrt{3289}}{13}\approx 4{,}41.$$

Kontrola niezależnym wzorem na przekątną czworokąta wpisanego w okrąg o bokach $a,b,c,d$:

$$|AC|^{2}=\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}=\frac{(2\cdot4+3\cdot5)(2\cdot5+3\cdot4)}{2\cdot3+4\cdot5}=\frac{23\cdot22}{26}=\frac{253}{13}\ \checkmark$$

Odpowiedź: $|AC|=\sqrt{\frac{253}{13}}=\frac{\sqrt{3289}}{13}$