Krok 1. Oznaczenia. Niech kąty wewnętrzne czworokąta $ABCD$ wynoszą
$$\angle A=2a,\qquad \angle B=2b,\qquad \angle C=2c,\qquad \angle D=2d,$$
tak aby dwusieczne dzieliły je na kąty $a$, $b$, $c$, $d$.
Krok 2. Suma kątów czworokąta.
$$2a+2b+2c+2d=360^\circ\ \Longrightarrow\ a+b+c+d=180^\circ.$$
Krok 3. Kąt przy wierzchołku $P$. Punkt $P$ jest przecięciem dwusiecznych poprowadzonych z $A$ i z $B$. W trójkącie $ABP$ suma kątów wynosi $180^\circ$, a kąty przy $A$ i $B$ to odpowiednio $a$ i $b$:
$$\angle APB=180^\circ-a-b.$$
Krok 4. Kąt przy wierzchołku $R$. Analogicznie, $R$ jest przecięciem dwusiecznych z $C$ i z $D$, więc w trójkącie $CDR$:
$$\angle CRD=180^\circ-c-d.$$
Krok 5. Suma tych kątów.
$$\angle APB+\angle CRD=360^\circ-(a+b+c+d)=360^\circ-180^\circ=180^\circ.$$
Krok 6. Przejście do kątów czworokąta $PQRS$. Punkt $S$ leży na dwusiecznej poprowadzonej z $B$, po przeciwnej stronie punktu $P$ niż wierzchołek $B$, a punkt $Q$ leży na dwusiecznej z $A$, po przeciwnej stronie $P$ niż $A$ (widać to na rysunku). Kąt $\angle SPQ$ jest zatem kątem wierzchołkowym do $\angle APB$, więc
$$\angle SPQ=\angle APB.$$
Z tego samego powodu $\angle QRS=\angle CRD$.
Krok 7. Wniosek. Przeciwległe kąty czworokąta $PQRS$ spełniają
$$\angle SPQ+\angle QRS=\angle APB+\angle CRD=180^\circ.$$
Czworokąt, w którym suma przeciwległych kątów wynosi $180^\circ$, jest wpisany w okrąg. Zatem na czworokącie $PQRS$ można opisać okrąg. $\blacksquare$
Uwaga: w dowodzie skorzystaliśmy jedynie z sumy kątów czworokąta — cykliczność $ABCD$ gwarantuje natomiast, że dwusieczne przecinają się w czterech różnych punktach, czyli że czworokąt $PQRS$ w ogóle istnieje.
