LekcjeRazem

Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji. Wyrażenie postaci $a\sin x+b\cos x$ można zapisać jako

$$a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi),\qquad R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.$$

Tutaj $a=2$, $b=3$, więc

$$R=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}.$$

Krok 2. Oszacowanie wartości lewej strony. Ponieważ $|\sin(x+\varphi)|\le1$, dla każdego $x$ zachodzi

$$|2\sin x+3\cos x|\le\sqrt{13}\approx 3{,}61.$$

Krok 3. Wniosek. Prawa strona równania wynosi $6$, a

$$\sqrt{13}<\sqrt{36}=6,$$

więc lewa strona nigdy nie osiągnie wartości $6$. Równanie nie ma rozwiązań — ani w podanym przedziale, ani w ogóle.

Uwaga: to samo można uzasadnić nierównością $2\sin x+3\cos x\le 2+3=5<6$, choć oszacowanie przez $\sqrt{13}$ jest dokładniejsze.

Odpowiedź: A