LekcjeRazem

Krok 1. Kwadrat sumy. Korzystamy z założenia $x^{2}+y^{2}=2$:

$$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=2+2xy.$$

Krok 2. Oszacowanie iloczynu $xy$. Dla dowolnych liczb rzeczywistych kwadrat różnicy jest nieujemny:

$$(x-y)^{2}\ge 0\ \Longrightarrow\ x^{2}-2xy+y^{2}\ge 0\ \Longrightarrow\ x^{2}+y^{2}\ge 2xy.$$

Podstawiamy założenie:

$$2\ge 2xy\ \Longrightarrow\ xy\le 1.$$

Krok 3. Oszacowanie kwadratu sumy.

$$(x+y)^{2}=2+2xy\le 2+2\cdot1=4.$$

Krok 4. Pierwiastkowanie. Liczby $x$ i $y$ są dodatnie, więc $x+y>0$. Z nierówności $(x+y)^{2}\le 4$ i dodatniości sumy wynika

$$x+y\le 2,$$

co należało wykazać. $\blacksquare$

Kiedy zachodzi równość: gdy $(x-y)^{2}=0$, czyli $x=y$. Wtedy $2x^{2}=2$, więc $x=y=1$ i rzeczywiście $x+y=2$.