LekcjeRazem

Krok 1. Współczynnik kierunkowy stycznej. Kąt nachylenia prostej do osi $Ox$ wiąże się ze współczynnikiem kierunkowym wzorem $m=\tg\alpha$:

$$m=\tg 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Krok 2. Pochodna funkcji.

$$y^{\prime}=2\sqrt{3}\,x.$$

Krok 3. Wyznaczenie odciętej. Pochodna w punkcie styczności równa się współczynnikowi kierunkowemu stycznej:

$$2\sqrt{3}\,x_0=\frac{\sqrt{3}}{3}\ \Longrightarrow\ x_0=\frac{\sqrt{3}}{3\cdot 2\sqrt{3}}=\frac{1}{6}.$$

Krok 4. Wyznaczenie rzędnej. Podstawiamy do wzoru paraboli:

$$y_0=\sqrt{3}\cdot\left(\frac16\right)^{2}-1=\frac{\sqrt{3}}{36}-1.$$

Sprawdzenie: $y^{\prime}\left(\tfrac16\right)=2\sqrt3\cdot\tfrac16=\tfrac{\sqrt3}{3}=\tg30^\circ$ ✓

Odpowiedź: $P=\left(\frac{1}{6},\ \frac{\sqrt{3}}{36}-1\right)$