LekcjeRazem

Krok 1. Porównanie pierwszego składnika z ułamkiem $\frac{x}{y}$. Pokażemy, że

$$\frac{x+a}{y+a}>\frac{x}{y}.$$

Oba mianowniki są dodatnie ($y>0$, $y+a>0$), więc możemy pomnożyć nierówność na krzyż bez zmiany znaku:

$$(x+a)\,y>x\,(y+a)\ \Longleftrightarrow\ xy+ay>xy+ax\ \Longleftrightarrow\ ay>ax.$$

Ostatnia nierówność jest prawdziwa, bo $a>0$ oraz $y>x$. Zatem faktycznie $\frac{x+a}{y+a}>\frac{x}{y}$.

Krok 2. Oszacowanie lewej strony.

$$\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>\frac{x}{y}+\frac{y}{x}.$$

Krok 3. Klasyczna nierówność. Dla dodatnich $x\neq y$:

$$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{x^{2}+y^{2}-2xy}{xy}=\frac{(x-y)^{2}}{xy}>0,$$

bo licznik jest dodatni (skoro $x\neq y$), a mianownik dodatni. Stąd

$$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}>2.$$

Krok 4. Połączenie. Z Kroków 2 i 3 otrzymujemy

$$\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>\frac{x}{y}+\frac{y}{x}>2,$$

co kończy dowód. $\blacksquare$