LekcjeRazem

Oznaczmy $|AD|=d$ (połowa podstawy). Z symetrii $|BD|=d$.

Krok 1. Odcinki styczne z wierzchołka $C$. Z punktu leżącego poza okręgiem odcinki styczne mają równe długości. Niech $M^{\prime}$ będzie punktem styczności okręgu z bokiem $BC$. Wtedy $|CM|=|CM^{\prime}|$.

Krok 2. Obwód trójkąta $KLC$. Niech $P$ będzie punktem styczności odcinka $KL$ z okręgiem. Z równości odcinków stycznych:

$$|KM|=|KP|,\qquad |LM^{\prime}|=|LP|.$$

Ponieważ $|KM|=|CM|-|KC|$ oraz $|LM^{\prime}|=|CM^{\prime}|-|LC|=|CM|-2$, otrzymujemy

$$|KL|=|KP|+|PL|=2\left(|CM|-2\right).$$

Zatem obwód trójkąta $KLC$ wynosi

$$|KC|+|CL|+|KL|=2+2+2|CM|-4=2\,|CM|.$$

Krok 3. Podobieństwo. Trójkąty $KLC$ i $ABC$ są równoramienne o wspólnym kącie przy wierzchołku $C$, więc są podobne w skali

$$k=\frac{|KC|}{|AC|}=\frac{2}{6}=\frac13\ \Longrightarrow\ |KL|=\frac{|AB|}{3}=\frac{2d}{3}.$$

Krok 4. Wyznaczenie $|CM|$ i $d$. Ponieważ $DM\perp AC$, w trójkącie prostokątnym $ADM$ mamy $|AM|=|AD|\cos\alpha$, gdzie $\cos\alpha=\frac{d}{6}$, czyli

$$|AM|=\frac{d^{2}}{6},\qquad |CM|=6-\frac{d^{2}}{6}.$$

Z Kroku 2 obwód wynosi $2|CM|$, a bezpośrednio $4+|KL|$:

$$4+\frac{2d}{3}=2\left(6-\frac{d^{2}}{6}\right)=12-\frac{d^{2}}{3}.$$

Mnożymy przez $3$:

$$12+2d=36-d^{2}\ \Longrightarrow\ d^{2}+2d-24=0\ \Longrightarrow\ (d+6)(d-4)=0.$$

Długość jest dodatnia, więc $d=4$.

Krok 5. Szukany stosunek.

$$|AM|=\frac{4^{2}}{6}=\frac{8}{3},\qquad |MC|=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}.$$

$$\frac{|AM|}{|MC|}=\frac{\frac83}{\frac{10}{3}}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}. \qquad\blacksquare$$

Kontrola: obwód $\triangle KLC$ wynosi $2+2+\frac{2\cdot4}{3}=\frac{20}{3}$, a $2|CM|=2\cdot\frac{10}{3}=\frac{20}{3}$ — zgadza się.