LekcjeRazem

1. a) Podstawa $2x$, ramię $\sqrt{x^2+h^2}$. $r=\frac Pp$: $1=\frac{xh}{x+\sqrt{x^2+h^2}} \Rightarrow xh-x=\sqrt{x^2+h^2}$.
2. Podnosząc do kwadratu: $x^2h^2-2x^2h=h^2 \Rightarrow x^2=\frac{h}{h-2}$ ($h\gt 2$), więc $P=xh=h\sqrt{\frac h{h-2}}$.
3. b) Minimalizujemy $g(h)=P^2=\frac{h^3}{h-2}$: $g^\prime(h)=\frac{3h^2(h-2)-h^3}{(h-2)^2}=\frac{2h^2(h-3)}{(h-2)^2}$.
4. $g^\prime\lt 0$ na $(2,3)$, $g^\prime\gt 0$ na $(3,\infty)$ — minimum w $h=3$: $P=3\sqrt3$.

Odpowiedź: $h=3$, $P_{\min}=3\sqrt3$ (trójkąt równoboczny)