LekcjeRazem

Rozwiązanie:

1. Krok 1: Wyznaczenie kąta środkowego AOB

   Kąt wpisany $\angle BCA = 50°$ opiera się na tym samym łuku $AB$, co kąt środkowy $\angle AOB$. Na mocy twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym:

   $$\angle AOB = 2 \cdot \angle BCA = 2 \cdot 50° = 100°$$

2. Krok 2: Analiza trójkąta AOB

   Punkty $A$ i $B$ leżą na okręgu o środku $O$, zatem:

   $$OA = OB = r \quad \text{(promienie okręgu)}$$

   Trójkąt $AOB$ jest więc równoramienny. Suma kątów w trójkącie wynosi $180°$, a kąty przy podstawie są równe:

   $$\angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - \angle AOB}{2} = \frac{180° - 100°}{2} = \frac{80°}{2} = 40°$$

3. Krok 3: Identyfikacja kąta ABO

   Kąt $\angle ABO = \angle OBA = 40°$. Jest to kąt ostry (mniejszy niż $90°$), co potwierdza, że szukamy właśnie tej wartości.

   $$\angle ABO = 40°$$

Analiza odpowiedzi:

1. 20° — BŁĘDNA. Wartość $20°$ to połowa kąta wpisanego $\angle BCA$. Błąd polega na mylnym podzieleniu kąta wpisanego przez 2 zamiast poprawnym obliczeniu kątów przy podstawie trójkąta równoramiennego $AOB$.
2. 35° — BŁĘDNA. Wartość $35°$ nie wynika z żadnej poprawnej zależności w tym zadaniu. Mogłaby pojawić się np. przy błędnym założeniu, że kąt środkowy równa się kątowi wpisanemu ($\angle AOB = 50°$) i obliczeniu $\frac{180° - 50°}{2} = 65°$, lub przy innych niepoprawnych działaniach.

3. 40° — POPRAWNA. Kąt środkowy $\angle AOB = 2 \cdot 50° = 100°$. Trójkąt $AOB$ jest równoramienny ($OA = OB = r$), więc kąty przy podstawie wynoszą:

   $$\angle ABO = \frac{180° - 100°}{2} = 40°$$
4. 50° — BŁĘDNA. Wartość $50°$ to miara danego kąta wpisanego $\angle BCA$. Błąd polega na utożsamieniu kąta wpisanego z szukanym kątem $\angle ABO$, bez przeprowadzenia obliczeń.

Wynik końcowy: Miara kąta ostrego $\angle ABO = \boxed{40°}$

Odpowiedź: C)