Rozwiązanie
-
Krok 1: Zastosowanie twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym.
Kąt $BCA$ jest kątem wpisanym w okrąg, opartym na łuku $AB$. Kąt środkowy $BOA$ jest oparty na tym samym łuku $AB$. Na mocy twierdzenia o kącie wpisanym:
$$\angle BOA = 2 \cdot \angle BCA = 2 \cdot 50° = 100°$$
-
Krok 2: Analiza trójkąta $AOB$.
Punkty $A$ i $B$ leżą na okręgu o środku $O$, zatem:
$$OA = OB = r \quad \text{(promienie okręgu)}$$
Trójkąt $AOB$ jest więc trójkątem równoramiennym, w którym $OA = OB$.
-
Krok 3: Obliczenie kąta $ABO$.
W trójkącie równoramiennym $AOB$ kąty przy podstawie $AB$ są równe:
$$\angle OAB = \angle OBA$$
Suma kątów w trójkącie wynosi $180°$, zatem:
$$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180°$$
$$2 \cdot \angle OBA + 100° = 180°$$
$$2 \cdot \angle OBA = 80°$$
$$\angle OBA = 40°$$
-
Krok 4: Weryfikacja, że kąt jest ostry.
Ponieważ $40° < 90°$, kąt $ABO = 40°$ jest rzeczywiście kątem ostrym — zgodnie z treścią zadania.
Analiza odpowiedzi
- A) $20°$ — BŁĘDNA. Wynik $20°$ otrzymalibyśmy, gdybyśmy podzielili kąt środkowy $100°$ przez $5$ lub omyłkowo obliczyli $\frac{100°}{5}$. Nie odpowiada żadnemu poprawnemu krokowi rozumowania.
- B) $35°$ — BŁĘDNA. Wynik $35°$ to połowa kąta wpisanego $\frac{70°}{2}$ lub błędna próba obliczenia kąta przy innym założeniu. Nie wynika z poprawnego zastosowania twierdzeń.
- C) $40°$ — POPRAWNA. Kąt środkowy $\angle BOA = 2 \cdot 50° = 100°$, a z równoramienności trójkąta $AOB$ wynika $\angle ABO = \frac{180° - 100°}{2} = 40°$.
- D) $50°$ — BŁĘDNA. Wynik $50°$ to miara kąta wpisanego $\angle BCA$ — mylenie kąta wpisanego z szukanym kątem $ABO$. Kąt $ABO$ nie jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tym samym łuku.
Wynik końcowy:
$$\angle ABO = 40°$$
Poprawna odpowiedź to C).
