Rozwiązanie zadania 18.2
Dane: Trójkąt prostokątny $ABC$, gdzie $BC$ jest przeciwprostokątną, $AB = 6$, środkowa $CD = 5$. Kąt $ADC = \alpha$, kąt $ABC = \beta$.
-
Krok 1: Ustalenie układu i wyznaczenie długości $AC$
Ponieważ $BC$ jest przeciwprostokątną, kąt prosty leży przy wierzchołku $A$, czyli $\angle BAC = 90°$.
$D$ jest punktem środkowym $AB$ (środkowa $CD$ prowadzona jest z wierzchołka $C$ do boku $AB$), więc $AD = DB = \dfrac{AB}{2} = 3$.
-
Krok 2: Obliczenie długości $AC$ z trójkąta $ACD$
W trójkącie $ACD$ kąt $\angle DAC = \angle BAC = 90°$, więc:
$$CD^2 = AC^2 + AD^2$$
$$25 = AC^2 + 9$$
$$AC^2 = 16 \implies AC = 4$$
-
Krok 3: Obliczenie długości $BC$
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABC$ (kąt prosty w $A$):
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 36 + 16 = 52$$
$$BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$
-
Krok 4: Obliczenie $\sin\beta$
Kąt $\beta = \angle ABC$. W trójkącie prostokątnym $ABC$ (kąt prosty w $A$):
$$\sin\beta = \sin(\angle ABC) = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta } \beta}{BC} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$$
Analiza odpowiedzi:
Odpowiedź A) $\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ — POPRAWNA, ponieważ $\sin\beta = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{2\sqrt{13}} = \dfrac{2}{\sqrt{13}}$. Wynik wynika bezpośrednio z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym.
Odpowiedź B) $\dfrac{3}{\sqrt{13}}$ — BŁĘDNA, ponieważ odpowiadałaby stosunkowi $\dfrac{AD}{BC} = \dfrac{3}{2\sqrt{13}}$, co nie jest sinusem żadnego naturalnego kąta w tym trójkącie. Można ją uzyskać, błędnie podstawiając $AD = 3$ zamiast $AC = 4$.
Odpowiedź C) $\dfrac{5}{2\sqrt{13}}$ — BŁĘDNA, ponieważ odpowiadałaby stosunkowi $\dfrac{CD}{BC} = \dfrac{5}{2\sqrt{13}}$, a $CD$ jest środkową, nie bokiem trójkąta $ABC$. Błąd polega na użyciu długości środkowej zamiast odpowiedniej przyprostokątnej.
Odpowiedź D) $\dfrac{4}{5}$ — BŁĘDNA, ponieważ $\dfrac{4}{5} = \dfrac{AC}{CD}$, co jest sinusem kąta $\alpha = \angle ADC$ w trójkącie $ACD$, a nie sinusem kąta $\beta$. Błąd polega na pomyleniu kątów $\alpha$ i $\beta$.
Wynik końcowy:
$$\sin\beta = \frac{2}{\sqrt{13}}$$
Odpowiedź: A
