LekcjeRazem

Rozwiązanie — Zadanie 21

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB| = 11$, $|BC| = 12$ oraz $|\angle ABC| = 60°$.

---

Krok 1: Wyznaczenie boku $AC$ za pomocą twierdzenia cosinusów

Kąt $\angle ABC = 60°$ jest zawarty między bokami $AB$ i $BC$. Bok leżący naprzeciwko tego kąta to $AC$. Stosujemy twierdzenie cosinusów:

$$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(\angle ABC)$$ $$|AC|^2 = 11^2 + 12^2 - 2 \cdot 11 \cdot 12 \cdot \cos 60°$$ $$|AC|^2 = 121 + 144 - 264 \cdot \frac{1}{2}$$ $$|AC|^2 = 265 - 132 = 133$$ $$|AC| = \sqrt{133}$$

---

Krok 2: Ocena stwierdzenia 1 — „Trójkąt $ABC$ jest równoramienny"

Trójkąt jest równoramienny, gdy dwa z jego boków są równe. Porównujemy długości wszystkich trzech boków:

• $|AB| = 11$
• $|BC| = 12$
• $|AC| = \sqrt{133} \approx 11{,}53$

Sprawdzamy, czy którekolwiek dwa boki są równe:

• $|AB| = |BC|$? $\quad 11 \neq 12$ — NIE
• $|AB| = |AC|$? $\quad 11 \neq \sqrt{133}$, bo $11^2 = 121 \neq 133$ — NIE
• $|BC| = |AC|$? $\quad 12 \neq \sqrt{133}$, bo $12^2 = 144 \neq 133$ — NIE

Żadne dwa boki nie są równe, więc trójkąt jest różnoboczny.

Stwierdzenie 1 jest FAŁSZYWE → F

---

Krok 3: Ocena stwierdzenia 2 — „Pole trójkąta $ABC$ jest równe $33\sqrt{3}$"

Pole trójkąta, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi, obliczamy ze wzoru:

$$P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \sin(\angle ABC)$$ $$P = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin 60°$$ $$P = \frac{1}{2} \cdot 132 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$P = \frac{132\sqrt{3}}{4} = 33\sqrt{3}$$

Pole trójkąta wynosi dokładnie $33\sqrt{3}$.

Stwierdzenie 2 jest PRAWDZIWE → P

---

Odpowiedź końcowa

1. Trójkąt $ABC$ jest równoramienny → F (fałsz, gdyż wszystkie trzy boki mają różne długości: $11$, $12$, $\sqrt{133}$)
2. Pole trójkąta $ABC$ jest równe $33\sqrt{3}$ → P (prawda, gdyż $P = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin 60° = 33\sqrt{3}$)