LekcjeRazem

Rozwiązanie

1. Krok 1: Przypomnienie poziomów energetycznych atomu wodoru

   Energia elektronu na $n$-tym poziomie atomu wodoru wynosi:

   $$E_n = -\frac{13{,}6 \text{ eV}}{n^2}$$

   Obliczamy energie dla poziomów $n = 3$, $n = 4$ oraz $n = 5$:

   $$E_3 = -\frac{13{,}6}{9} \approx -1{,}511 \text{ eV}$$ $$E_4 = -\frac{13{,}6}{16} \approx -0{,}850 \text{ eV}$$ $$E_5 = -\frac{13{,}6}{25} \approx -0{,}544 \text{ eV}$$

2. Krok 2: Obliczenie energii emitowanych fotonów

   Energia fotonu emitowanego podczas przejścia między poziomami równa się różnicy energii tych poziomów:

   $$E_\text{fotonu} = E_\text{wyższy} - E_\text{niższy}$$

   Dla przejścia $5 \to 3$:

   $$E_{53} = E_5 - E_3 = (-0{,}544) - (-1{,}511) = 0{,}967 \text{ eV}$$

   Dla przejścia $4 \to 3$:

   $$E_{43} = E_4 - E_3 = (-0{,}850) - (-1{,}511) = 0{,}661 \text{ eV}$$

   Zatem:

   $$E_{53} \approx 0{,}967 \text{ eV} > E_{43} \approx 0{,}661 \text{ eV}$$

3. Krok 3: Wyznaczenie relacji między długościami fal

   Energia fotonu i długość fali są związane wzorem:

   $$E = \frac{hc}{\lambda} \implies \lambda = \frac{hc}{E}$$

   Długość fali jest odwrotnie proporcjonalna do energii fotonu. Skoro $E_{53} > E_{43}$, to:

   $$\lambda_{53} = \frac{hc}{E_{53}} < \frac{hc}{E_{43}} = \lambda_{43}$$

   Czyli $\lambda_{53} < \lambda_{43}$.

   Można to zrozumieć intuicyjnie: przejście $5 \to 3$ obejmuje większą „skocznię" energetyczną niż $4 \to 3$, więc emitowany foton ma większą energię i krótszą długość fali.

4. Krok 4: Ocena odpowiedzi

   Odpowiedzi dotyczące długości fali:

   • A. $\lambda_{53} > \lambda_{43}$ — błędna: większa energia fotonu oznacza krótszą, a nie dłuższą falę.
   • B. $\lambda_{53} < \lambda_{43}$ — poprawna: foton z przejścia $5 \to 3$ ma większą energię, więc ma krótszą długość fali.
   • C. $\lambda_{53} = \lambda_{43}$ — błędna: energie obu fotonów są różne, więc długości fal również muszą być różne.

   Odpowiedzi dotyczące energii:

   • 1. $E_{53} > E_{43}$ — poprawna: przejście z poziomu 5 do 3 odpowiada większej różnicy energii niż przejście z 4 do 3.
   • 2. $E_{53} < E_{43}$ — błędna: poziom $n=5$ leży wyżej niż $n=4$, więc różnica energii do poziomu $n=3$ jest większa dla przejścia $5\to3$.
   • 3. $E_{53} = E_{43}$ — błędna: $E_5 \neq E_4$, więc energie emitowanych fotonów są różne.

Wynik końcowy:

Poprawna odpowiedź to B oraz 1.