Rozwiązanie zadania 5.2
Analiza problemu
Chiron porusza się po orbicie eliptycznej wokół Słońca. Punkt P (peryhelium) to położenie najbliższe Słońcu, a punkt A (aphelium) to położenie najdalsze od Słońca. Z kontekstu zadania (poprzednie podpunkty) znane są odległości: $r_P = 8{,}5 \text{ AU}$ (odległość w peryhelium) oraz $r_A = 18{,}9 \text{ AU}$ (odległość w aphelium).
-
Wybór zasady zachowania
Siła grawitacji działająca na Chirona jest siłą centralną — zawsze skierowana ku Słońcu (przez środek układu). Moment siły centralnej względem środka (Słońca) wynosi zero:
$$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{0}$$
Z drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego wynika, że moment pędu nie zmienia się w czasie:
$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M} = \vec{0} \implies \vec{L} = \text{const}$$
W ruchu po orbicie eliptycznej zachowany jest moment pędu (nie pęd, bo siła grawitacji jest niezerowa; nie energia kinetyczna, bo prędkość zmienia się na orbicie).
-
Zastosowanie zasady zachowania momentu pędu
W punkcie P (peryhelium) i w punkcie A (aphelium) wektor prędkości jest prostopadły do wektora położenia (prostopadły do promienia wodzącego), więc:
$$L_P = m \cdot v_P \cdot r_P$$
$$L_A = m \cdot v_A \cdot r_A$$
Z zasady zachowania momentu pędu $L_P = L_A$:
$$m \cdot v_P \cdot r_P = m \cdot v_A \cdot r_A$$
-
Wyznaczenie związku między $v_P$ a $v_A$
Po uproszczeniu masy $m$:
$$v_P \cdot r_P = v_A \cdot r_A$$
$$v_P = \frac{r_A}{r_P} \cdot v_A = \frac{18{,}9}{8{,}5} \cdot v_A$$
-
Ocena pozostałych odpowiedzi
- Odpowiedź B ($v_P = v_A$) — błędna, ponieważ prędkość liniowa na orbicie eliptycznej zmienia się: jest największa w peryhelium i najmniejsza w aphelium (II prawo Keplera). Energia kinetyczna nie jest zachowana — zmienia się kosztem energii potencjalnej.
- Odpowiedź C — błędna, ponieważ zawiera odwróconą proporcję ($\frac{8{,}5}{18{,}9}$), co dawałoby $v_P < v_A$. Przeczyłoby to faktowi, że w peryhelium (bliżej Słońca) ciało porusza się szybciej niż w aphelium.
- Uzasadnienie 1. (pęd) — błędne, ponieważ pęd $\vec{p} = m\vec{v}$ nie jest zachowany — na Chirona działa niezerowa siła grawitacji.
- Uzasadnienie 3. (energia kinetyczna) — błędne, ponieważ energia kinetyczna zmienia się wraz z prędkością na orbicie.
Wynik końcowy
Poprawna odpowiedź: A i 2.
$$\boxed{v_P = \frac{18{,}9}{8{,}5}\, v_A}$$
ponieważ w ruchu Chirona wokół Słońca nie zmienia się jego moment pędu (siła grawitacji jest siłą centralną, więc jej moment względem Słońca jest równy zero).
