LekcjeRazem

Rozwiązanie – Zadanie 1.1

Analiza ruchu kulki rzuconej poziomo

Kulka K jest rzucana poziomo z pewnej wysokości $h$. Ruch taki jest złożeniem dwóch niezależnych ruchów: jednostajnego poziomego oraz jednostajnie przyspieszonego pionowego (swobodny spadek).

1. Krok 1 – Ustalenie równań ruchu

   Składowe prędkości w chwili $t$ (mierzonego od $t_0$):

   $$v_x = v_0 = \text{const}$$ $$v_y = g \cdot t$$

   Wartość (moduł) prędkości wypadkowej:

   $$v(t) = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + g^2 t^2}$$

2. Krok 2 – Ocena stwierdzenia 1.

   „Wartość prędkości kulki K rośnie wprost proporcjonalnie do czasu."

   Zależność wprost proporcjonalna oznaczałaby $v(t) = k \cdot t$ dla pewnej stałej $k$. Tymczasem:

   $$v(t) = \sqrt{v_0^2 + g^2 t^2}$$

   Jest to funkcja hiperboliczna, nie liniowa. Tylko gdyby $v_0 = 0$ (tzn. rzut pionowy lub swobodny spadek), zależność byłaby liniowa: $v = gt$. W ogólnym przypadku rzutu poziomego ($v_0 \neq 0$) wartość prędkości nie rośnie proporcjonalnie do czasu.

   Stwierdzenie 1: F (Fałsz)

3. Krok 3 – Ocena stwierdzenia 2.

   „Wektor przyspieszenia kulki K podczas jej ruchu ma stałą wartość."

   Na kulkę (pomijamy opór powietrza) działa wyłącznie siła grawitacji. Przyspieszenie kulki to przyspieszenie ziemskie:

   $$\vec{a} = \vec{g} = \text{const}$$

   Wektor $\vec{g}$ ma stały kierunek (pionowy, w dół), stały zwrot oraz stałą wartość $g \approx 9{,}81 \; \text{m/s}^2$. Zatem wartość wektora przyspieszenia jest stała w całym czasie ruchu.

   Stwierdzenie 2: P (Prawda)

4. Krok 4 – Ocena stwierdzenia 3.

   „Czas ruchu kulki K od chwili $t_0$ do chwili $t_k$ zależy od $v_0$."

   Czas lotu wyznaczamy z równania ruchu pionowego. Kulka spada z wysokości $h$:

   $$h = \frac{1}{2} g \cdot t_k^2$$

   Stąd:

   $$t_k = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

   Czas lotu zależy jedynie od wysokości $h$ i przyspieszenia grawitacyjnego $g$. Nie zależy od $v_0$ – wartości prędkości poziomej. Wynika to z niezależności ruchu poziomego i pionowego: prędkość początkowa $v_0$ wpływa tylko na zasięg poziomy, nie na czas spadania.

   Stwierdzenie 3: F (Fałsz)

Wynik końcowy