LekcjeRazem

Krok 1 — wskazujemy przeciwprostokątną. Najdłuższy bok to $n^2+1$ (bo $n^2+1>n^2-1$ oraz $n^2+1>2n$ dla $n>1$). Sprawdzamy twierdzenie odwrotne do Pitagorasa.

Krok 2 — suma kwadratów krótszych boków:

$$(n^2-1)^2+(2n)^2$$

Krok 3 — rozwijamy:

$$(n^4-2n^2+1)+4n^2=n^4+2n^2+1$$

Krok 4 — kwadrat najdłuższego boku:

$$(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$$

Krok 5 — porównanie. Obie strony są równe, więc $a^2+b^2=c^2$ — trójkąt jest prostokątny. $\qquad ∎$

Wniosek. To wzór generujący trójki pitagorejskie: dla $n=2$ daje $3,4,5$; dla $n=3$ daje $8,6,10$; dla $n=4$ daje $15,8,17$.